Sa se rezolve ecuatia exponentiala \( 4^x+2=3\cdot 2^{x^2}\ . \)
Dupa parerea mea, este ... "rupere" ! Ma incumet sa dau si un premiu celui care o face.
O dificila ecuatie exponentiala (Own).
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
O dificila ecuatie exponentiala (Own).
Last edited by Virgil Nicula on Fri Mar 14, 2008 11:47 pm, edited 2 times in total.
-
Radu Titiu
- Thales
- Posts: 155
- Joined: Fri Sep 28, 2007 5:05 pm
- Location: Mures \Bucuresti
ecuatia e echivalenta cu :
\( 2^{g_{1}(x)}+2^{g_{2}(x)}=3 \) , unde \( g_{1}(x)=-x^2+2x , g
_{2}(x)=1-x^2 \)
Se observa ca \( f(x)=2^{g_{1}(x)}+2^{g_{2}(x)} \) este strict crescatoare pe intervalul
\( (-\infty 0] \) si strict descrescatoare pe intervalul \( [1,\infty) \) .(ca suma de functii crescatoare , respectiv descrescatoare),relatii care reies analizand comportamentul functiilor g_{1} si g_{2}
Datorita observatiei de mai sus avem 0 solutie unica pt intervalul \( (-\infty ,0] \) si 1 solutie unica pe intervalul \( [1, \infty) \).
Mai ramane de aratat ca ecuatia nu are solutii in cazul in care \( x\in(0,1) \)
Din inegalitatea mediilor avem relatia :
\( 3\cdot 2^{x^2} = 2^{2x-1}+2^{2x-1}+2\geq 3\cdot2^{\frac{4x-1}{3}} \)
de unde rezulta \( x\in (0 ,\frac{1}{3}) \)
Pentru \( x\in (0,\frac{1}{3}) \) avem relatia \( 3x^2<x \) de unde avem:
\( 3\cdot 2^{x^2}=4^x+2>4^{3x^2}+2>3\cdot 2^{x^2} \) ,contradictie.
daca notam cu \( a=2^{x^2} \) ultima relatie de demonstrat devine :
\( a^6+2>3a \) pentru \( a\in (1,\sqrt[9]{2}) \)
din inegalitatea mediilor avem :
\( a^6+2\geq 3a^2>3a \Leftrightarrow a>1 \) lucru adevarat.
Asadar am demonstrat ca ecuatia f(x)=3 nu are solutii in intervalul (0,1) deci singurele solutii sunt x=1 si x=0
\( 2^{g_{1}(x)}+2^{g_{2}(x)}=3 \) , unde \( g_{1}(x)=-x^2+2x , g
_{2}(x)=1-x^2 \)
Se observa ca \( f(x)=2^{g_{1}(x)}+2^{g_{2}(x)} \) este strict crescatoare pe intervalul
\( (-\infty 0] \) si strict descrescatoare pe intervalul \( [1,\infty) \) .(ca suma de functii crescatoare , respectiv descrescatoare),relatii care reies analizand comportamentul functiilor g_{1} si g_{2}
Datorita observatiei de mai sus avem 0 solutie unica pt intervalul \( (-\infty ,0] \) si 1 solutie unica pe intervalul \( [1, \infty) \).
Mai ramane de aratat ca ecuatia nu are solutii in cazul in care \( x\in(0,1) \)
Din inegalitatea mediilor avem relatia :
\( 3\cdot 2^{x^2} = 2^{2x-1}+2^{2x-1}+2\geq 3\cdot2^{\frac{4x-1}{3}} \)
de unde rezulta \( x\in (0 ,\frac{1}{3}) \)
Pentru \( x\in (0,\frac{1}{3}) \) avem relatia \( 3x^2<x \) de unde avem:
\( 3\cdot 2^{x^2}=4^x+2>4^{3x^2}+2>3\cdot 2^{x^2} \) ,contradictie.
daca notam cu \( a=2^{x^2} \) ultima relatie de demonstrat devine :
\( a^6+2>3a \) pentru \( a\in (1,\sqrt[9]{2}) \)
din inegalitatea mediilor avem :
\( a^6+2\geq 3a^2>3a \Leftrightarrow a>1 \) lucru adevarat.
Asadar am demonstrat ca ecuatia f(x)=3 nu are solutii in intervalul (0,1) deci singurele solutii sunt x=1 si x=0
A mathematician is a machine for turning coffee into theorems.