Sa se arate ca intr-un triunghi ascutit \( ABC \) avem \( \frac {HA^2+HB^2+HC^2}{HA+HB+HC}\ge R \),
unde H este ortocentrul si R este raza cercului circumscris triunghiului dat.
O inegalitate cu H intr-un triunghi ascutitunghic
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Re: O inegalitate cu H intr-un triunghi ascutitunghic
Solutie.Virgil Nicula wrote:Sa se arate ca intr-un triunghi ascutit \( ABC \) avem \( \frac {HA^2+HB^2+HC^2}{HA+HB+HC}\ge R \),
unde H este ortocentrul si R este raza cercului circumscris triunghiului dat.
Folosind cunoscuta relatie valabila in orice triunghi \( ABC \), \( AH=2R\cos A \) si analoagele, inegalitatea data este echivalenta cu:
\( 2(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C)\geq\cos A+\cos B+\cos C \).
Pe de alta parte, din identitatea \( \cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C+2\cos A\cos B\cos C=1 \), ceea ce ramane de demonstrat este:
\( \cos A+\cos B+\cos C+4\cos A\cos B\cos C\leq 2 \),
inegalitatea care reise imediat din cunoscutele inegalitati valabile in orice triunghi ascutitunghic,
\( \cos A+\cos B+\cos C\leq\frac{3}{2} \) si \( \cos A\cos B\cos C\leq\frac{1}{8} \). \( \qed \)
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.