Functii polinomiale definite pe inele comutative

[bae]

Fie \( A \) un inel comutativ cu \( n\geq 6 \) elemente si care nu e corp.
a) Demonstrati ca functia \( u:\ A\to A \), \( u(x)=0 \) pentru \( x\neq 0 \) si \( u(0)=1 \), nu este functie polinomiala;
b) Aratati ca \( P \), numarul functiilor polinomiale \( f:\ A\to A \), satisface \( n^2\leq P\leq n^{n-1} \).

OL Bucuresti, 2007

Principalul motiv pentru care am postat aceasta problema este de a pune in evidenta una dintre greselile tipice in lucrul cu functiile polinomiale definite pe inele comutative. In postul nr. 2 de aici http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=134080, la punctul a) se afirma ca daca un polinom cu coeficienti in \( A \) are ca radacini elementele \( x_1,\ldots,x_n\in A \), \( n\geq 2 \), atunci acesta se divide cu \( (X-x_1)\cdots (X-x_n) \). Fals! Daca inelul \( A \) ar fi comutativ si integru, atunci da, ar fi adevarat (dar in cazul problemei ar insemna sa fie corp, ceea ce nu se poate). Un exemplu este dat de polinomul \( X^3-X\in\mathbb{Z}_6[X] \) care are ca radacini toate elementele inelului si nu se divide cu produsul respectiv.

[bogdanl_yex]

Consideram ca u este functie polinomiala, \( u(x)=a_{0}+a_{1}x+....+a_{m}x^m \).

Din \( u(0)=1 \) rezulta ca \( a_{0}=1 \).

Deci \( u(x)=1+a_{1}x+a_{2}x^2+....+a_{m}x^m=0 \) oricare ar fi x din A\{0}.

Avem ca \( 1=(-a_{1}-a_{2}x-....-a_{m}x^{m-1})x \) oricare ar fi x din \( A \) \{0}, contradictie cu faptul ca A nu este corp. Asadar u nu este functie polinomiala.