Fie G un grup Lie real. Sa se arate ca exista o baza de vecinatati a elementului neutru astfel incat nici una din aceste vecinatati nu contine subgrupuri netriviale ale lui G.
Rezultatul nu este adevarat pentru grupuri Lie peste \( \mathbb{Q}_p \). Dati un exemplu si incercati sa vedeti ce nu mai functioneaza in demonstratia pentru cazul real.
Grupurile Lie reale nu au subgrupuri mici
-
Mihai Fulger
- Pitagora
- Posts: 61
- Joined: Tue Nov 06, 2007 4:24 am
- Location: Ann Arbor, Michigan
-
Alexandru Chirvasitu
- Euclid
- Posts: 47
- Joined: Sat Oct 06, 2007 4:53 pm
Pentru contraexemplu, \( \mathbb{Z}_p \) are trebui să funcţioneze minunat. E profinit, deci are o bază locală de vecinătăţi care sunt subgrupuri (deschise chiar).
Pentru problema propriu-zisă, se consideră o vecinătate convexă şi deschisă \( U \) a originii în spaţiul tangent la identitatea \( 1\in G \), cu proprietatea că aplicaţia exponenţială duce \( U \) difeomorf peste un deschis din jurul lui \( 1 \). Atunci deschisul \( W=\exp\left(\frac 12U\right) \) nu conţine subgrupuri netriviale ale lui \( G \): dacă elementul netrivial \( x \) aparţine lui \( W \), atunci \( x=\exp(v) \) pentru \( v\in\frac 12U \), şi există un exponent \( n \) astfel încât \( 2^nv\in U\setminus\frac 12U \). Atunci \( \exp(2^nv)=x^{2^n} \) nu aparţine lui \( W \).
Pentru problema propriu-zisă, se consideră o vecinătate convexă şi deschisă \( U \) a originii în spaţiul tangent la identitatea \( 1\in G \), cu proprietatea că aplicaţia exponenţială duce \( U \) difeomorf peste un deschis din jurul lui \( 1 \). Atunci deschisul \( W=\exp\left(\frac 12U\right) \) nu conţine subgrupuri netriviale ale lui \( G \): dacă elementul netrivial \( x \) aparţine lui \( W \), atunci \( x=\exp(v) \) pentru \( v\in\frac 12U \), şi există un exponent \( n \) astfel încât \( 2^nv\in U\setminus\frac 12U \). Atunci \( \exp(2^nv)=x^{2^n} \) nu aparţine lui \( W \).