O1M=O2M

[alex2008]

Fie triunghiul \( ABC \) , patratul \( ACDE \) si patratul \( ABFG \) . \( M \) este mijlocul laturii \( BC \) , iar \( O_1 \) si \( O_2 \) sunt centrele patratelor . Demonstrati ca \( O_1M \) este egal cu \( O_2M \) .

[Virgil Nicula]

Pe laturile \( [AC] \) , \( [AB] \) ale triunghiului \( ABC \) se construiesc in afara acestuia triunghiurile

dreptunghic-isoscele \( CNA \) , \( APB \) in \( N \) , \( P \) respectiv. Notam mijlocul \( M \) al laturii \( [BC]\ . \) Sa se arate

ca triunghiul \( NMP \) este de asemenea dreptunghic-isoscel in \( M \) (celebra problema a comorii din insula ).

Demonstratie (cu numere complexe). Fie \( A(a) \) , \( B(b) \) , \( C(c) \) , \( M(m) \) , \( N(n) \) , \( P(p)\ . \)

Atunci \( \left|\ \begin{array}{c}
2m=b+c\\\\
(1-i)n=c-ai\\\\
(1-i)p=a-bi\end{array}\ \right|\ \Longrightarrow\ p-m=(n-m)i \), ceea ce inseamna \( MN=MP \) si \( MN\perp MP\ . \)

Generalizare. Pe laturile \( \triangle\ ABC \) se construiesc in afara acestuia triunghiurile \( BMC \) , \( CNA \) , \( APB \)

astfel incat \( \left|\ \begin{array}{c}
m(\angle CBM)\ =\ m(\angle BCM)\ =\ x\\\\
m(\angle ACN)\ =\ m(\angle CAN)\ =\ y\\\\
m(\angle BAP)\ =\ m(\angle ABP)\ =\ z\\\\
x\ +\ y\ +\ z\ =\ 90^{\circ}\end{array}\ \right|\ . \) Sa se arate ca unghiurile triunghiului \( MNP \)

nu depind de forma triunghiului dat \( ABC \) , mai exact \( \left|\ \begin{array}{c}
m(\angle NMP)\ =\ 90^{\circ}-x\\\\
m(\angle PNM)\ =\ 90^{\circ}-y\\\\
m(\angle MPN)\ =\ 90^{\circ}-z\end{array}\ \right|\ . \)

Caz particular. Daca \( M \) este mijlocul laturii \( [BC] \) si \( NA\perp NC \) , \( PA\perp PB \) ,

adica \( x=0 \) si \( y=z=\frac {\pi}{4} \) , atunci \( MB\perp MC \) si \( MB=MC \) (problema comorii din insula !).