Inegalitate

[alex2008]

Sa se demonstreze ca \( \forall n\ge2 \) are loc inegalitatea \( \frac{4^n}{n+1}<\frac{(2n)!}{(n!)^2} \) .

[Marius Mainea]

Inductie dupa n.

[firebomb]

Prin inductie consideram adevarata inegalitatea \( 4^n \cdot (n!)^2<(n+1)(2n)! \) si trebuie sa aratam ca \( 4^{n+1} \cdot [(n+1)!]^2<(n+2)(2n+2)! \)

\( 4^{n+1} \cdot [(n+1)!]^2<(n+2)(2n+2)! \Leftrightarrow 4^n \cdot 4 \cdot [n! \cdot (n+1)]^2 < (n+2)(2n+2)! \Leftrightarrow 4^n \cdot (n!)^2 \cdot 4(n+1)^2 < (n+2)(2n+2)! \)

Stim ca \( 4^n \cdot (n!)^2<(n+1)(2n)! / \cdot 4(n+1)^2 \Leftrightarrow 4^n \cdot (n!)^2 \cdot 4(n+1)^2 < 4(n+1)^3(2n)! \)

Deci ar trebui sa aratam ca \( 4(n+1)^3(2n)! < (n+2)(2n+2)! \Leftrightarrow 4(n+1)^3 < (n+2)(2n+1)(2n+2) \Leftrightarrow 4(n+1)^3 < (n+2)(2n+1)2(n+1) \Leftrightarrow 2(n+1)^2 < (n+2)(2n+1) \Leftrightarrow 2n^2+4n+2 < 2n^2 +5n +2 \Leftrightarrow 4<5 \) .

Sper sa fie corect

[Virgil Nicula]

Sa se demonstreze ca \( \forall n\ge2 \) are loc inegalitatea \( \frac{4^n}{n+1}<\frac{(2n)!}{(n!)^2} \) .

Fara inductie !

Notam \( r_n=\frac {\frac{(2n)!}{(n!)^2}}{\frac{4^n}{n+1}}=\frac {(2n)!\cdot (n+1)}{4^n\cdot (n!)^2}\ . \) Se observa ca \( r_1=1 \) si pentru orice \( n\in \mathbb N^* \) avem

\( \frac {r_{n+1}}{r_n}=\frac {(2n+1)(n+2)}{2(n+1)^2}=1+\frac {n}{2(n+1)^2}\ge 1+\frac {1}{4(n+1)}> 1\ . \) Asadar, pentru orice \( n\in \mathbb N^* \) , \( n\ge 2 \)

avem \( r_{n+1}>r_n \) , adica \( 1=r_1< r_2<\ \ldots\ <r_n\ . \) adica sirul \( r_n \) , \( n\ge 2 \) este strict crescator.

In concluzie, pentru orice \( n\in \mathbb N^* \) , \( n\ge 2 \) avem \( r_n>1 \) , adica \( \frac{4^n}{n+1}<\frac{(2n)!}{(n!)^2}\ . \)

[Marius Mainea]

De fapt pentru a arata ca \( r_n>1 \) folosind \( r_{n+1}>r_n \) pentru orice n natural se foloseste tot inductia putin ,,mascata'' considerand propozitia

\( P(n): r_n>r_1=1 \)

[Virgil Nicula]

Domnule profesor, nu va contrazic, insa in ceea ce spuneti este vorba
de o inductie "primara/axiomatica/bun simt", in sensul urmator :

Problema. Sa se arate \( P(n) \) , \( n\ge 1 \) unde \( P(n) \) este proprietatea

" pentru orice \( n\ge 1 \) urmatorul natural numar al lui \( n \) este \( n+1 \) ".

Start. \( P(1) \) - adevarata.

Dem. Dupa \( 1 \) urmeaza \( 2=1+1 \) , adica proprietatea \( P(1) \) este adevarata.

Evolutie. Pentru un anumit \( n\ge 1 \) implicatia \( P(n)\Longrightarrow P(n+1) \) este adevarata.

Dem. Presupunem ca pentru un anumit \( n\ge 1 \) urmatorul este \( (n+1) \) . Atunci urmatorul lui \( (n+1) \) este

\( 1+ \)urmatorul lui \( n=1+(n+1)=n+2=(n+1)+1 \) , adica urmatorul lui \( (n+1) \) este \( (n+1)+1 \) .

In concluzie, pentru orice \( n\ge 1 \), urmatorul lui \( n \) este \( (n+1) \) .

Imi amintesc ca deseori am avut discutii cu colegii pe marginea unor asemenea abordari
care "fenteaza" inductia in cazul sirurilor monotone (de regula, probleme simple). O problema
in care se aplica consistent inductia este aceea in care nu avem monotonie ... Numai bine, V.N.

[firebomb]

Da e corect cum am facut eu ? Sau trebuie sa mai lucrez cu inductia ?

[alex2008]

Da , e bine ...