Vectori necoliniari

[alex2008]

Se considera vectorii \( \vec{u} \) si \( \vec{v} \) care sunt necoliniari .
a)Sa se arate ce vectorii \( \vec{u}+\vec{v} \) si \( 2\vec{u}+\vec{v} \) sunt necoliniari .
b)Sa se scrie vectorul \( 2\vec{u}+3\vec{v} \) ca o combinatie liniara de vectori \( \vec{u}+\vec{v} \) si \( 2\vec{u}+\vec{v} \) .

[firebomb]

a) Presupunem prin absurd ca \( \vec{u}+\vec{v}\ \parallel \ 2\vec{u}+\vec{v} \Leftrightarrow (\exists) k \in \mathb{R} \) astfel incat \( 2\vec{u}+\vec{v}=k \cdot (\vec{u}+\vec{v}) \Leftrightarrow (2-k)\vec{u}=(k-1)\vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}=\frac{k-1}{2-k}\vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\ \parallel\ \vec{v} \) , deci contadictie .

[alex2008]

Ca sa fie complet trebuia luat si cazul separat cand \( k=2 \Leftrightarrow \vec{v}=\vec{0} \Rightarrow \vec{v} \) \( \parallel \) \( \vec{u} \) , deci contradictie .