lema

[maxim bogdan]

Lema. Daca centrul de greutate \( G \) al unui triunghi se afla in interiorul cercului inscris atunci au loc relatiile:

1)\( a^2<4bc \); 2)\( b^2<4ac \); 3)\( c^2<4ab \).



Observatie! Aceasta lema se foloseste la demonstrarea unei inegalitati interesante apartinand lui Jack Garfunkel:

Fie \( ABC \) este un triunghi astfel incat centrul sau de greutate \( G \) se afla in interiorul cercului inscris. Segmentele \( AG \), \( BG \), \( CG \), \( AI \), \( BI \), \( CI \) intersecteaza cercul inscris in punctele D, E, F, U, V, W. Atunci are loc inegalitatea:

\( \partial (DEF)\leq \partial (UVW) \) (unde \( \partial (\mathcal{F}) \) reprezinta perimetrul figurii \( \mathcal{F} \)).

Demonstratia lemei este la nivelul clasei a IX-a.