Problema cu matrice de cub nul si care comuta intre ele

[Liviu Ornea]

Cezar a postat la clasa a XI-a o problema cu matrice http://www.mateforum.ro/viewtopic.php?t=428 :

daca A, B, C sint matrice complexe 3x3, toate de cub nul si care comuta intre ele, atunci \( ABC=0 \).

Banuiesc ca se poate face cu manipulari algebrice elementare, ca la clasa a XI-a, dar cred ca nu are rost. O asemenea problema nu spune mare lucru pentru un elev, e doar un exercitiu tehnic. Cind, de fapt, e doar un caz foarte particular al unor rezultate foarte generale de structura a algebrelor Lie nilpotente. Mai precis, are loc:

Teorema (Engel) (vezi, de exemplu, Helgason, p. 135):

Fie V un spatiu vectorial si g o subalgebra a algebrei gl(V) a endomorfismelor lui V constind numai din endomorfisme nilpotente. Atunci:
1. Exista un vector nenul \( v\in V \) a.i. Z(v)=0 pt. toti \( Z\in g \).
2. Exista o baza in care toate endomorfismele lui g se exprima prin matrice cu 0 pe si sub diagonala principala.

Corolar: \( X_1X_2\cdots X_s=0 \) pentru orice \( s\geq dim(V) \) si \( X_i\in g \).

La problema in chestie, \( V=C^3 \), dimV=3, iar g e generata de cele trei matrice nilpotente care comuta.

Dar problema se poate face si "de mina": e vorba sa arati ca in conditii de comutativitate, cele trei matrice se pot jordaniza intr-o aceeasi baza canonica.

Pe de alta parte, se vede ca problema pentru elevi se poate complica luind indici de nilpotenta diferiti pentru cele trei matrice. Probabil ca atunci e mult mai greu de tratat elementar.

L.O.

[Dragos Fratila]

Se mai poate face intr-un fel
Cum \( A^3=0 \) rezulta ca \( dim(Im(A))\leq 2/3\cdot dim C^3=2 \)
Cum cele 3 matrice comuta rezulta
\( dim(Im(ABC))\le \frac23\cdot \frac23\cdot \frac23\cdot 3<1 \). Deci e 0.

Tot cam in contextul asta mai este o teorema a lui Wedderburn care zice ca daca o algebra (finit dimensionala) poate fi generata ca spatiu vectorial de elemente nilpotente atunci ea este nilpotenta.

Apropo, in legatura cu astea doua teoreme a se vedea problema 5 din ziua 2 de la IMC 2007:
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?s ... 2&t=161888

PS. Problema asta am primit-o la un concurs Gh. Lazar intr-a XI-a... A pus probleme mari atunci. Habar nu aveam pe vremea aia de spatii vectoriale.
Tin minte cam cum era in barem solutia (m-am crucit atunci!):
\( 24ABC=(A+B+C)^3+(A+B-C)^3+(A-B+C)^3+ \) \( (-A+B+C)^3-3(A^3+B^3+C^3) \)
sau ceva de genul asta... unde se observa ca suma de matrice (care comuta) nilpotente e nilpotenta.

[Cezar Lupu]

Hmm, da! Asta e si solutia mea. Cu o identitate de tipul asta. Problema e veche, antica si de demult.
Cu alte cuvinyte nu trebuie sa stii decat niste manipulari algebrice de clasa 9-a.
Detalii la http://mateforum.ro/viewtopic.php?p=974#974