JBTST I 2007, problema 2
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
-
Laurian Filip
- Site Admin
- Posts: 344
- Joined: Sun Nov 25, 2007 2:34 am
- Location: Bucuresti/Arad
- Contact:
JBTST I 2007, problema 2
Un trapez \( ABCD \) are bazele \( AB \) si \( CD \), iar cercurile cu diametrele \( AD \) si \( BC \) se intersecteaza in punctele M si N. Sa se arate ca punctul de intersectie al diagonalelor \( AC \) si \( BD \) apartine dreptei \( MN \).
-
maxim bogdan
- Thales
- Posts: 106
- Joined: Tue Aug 19, 2008 1:56 pm
- Location: Botosani
Fie \( P,Q \) mijloacele segmentelor \( [AD] \)si respectiv \( [BC] \). De asemenea notam cu \( I \) intersectia diagonalelor \( AC \) si \( BD \) ale trapezului.
Se observa usor faptul ca \( MN \) este axa radicala a cercurilor de diametre \( [AD] \) si \( [BC] \). Mai ramane sa demonstram ca \( I \) se afla pe axa radicala a celor doua cercuri
\( \Leftrightarrow\rho_{C(P;\frac{AD}{2})}(I)=\rho_{C(Q;\frac{BC}{2})}(I) \)
\( \Leftrightarrow IP^2-\frac{AD^2}{4}=IQ^2-\frac{BC^2}{4}. \) Aplicand Teorema medianei in \( \triangle IAD \) si in \( \triangle IBC \) relatia de demonstrat este echivalenta cu:
\( IA^2+ID^2-AD^2=IB^2+IC^2-BC^2 \)
\( \Leftrightarrow 2\cdot IA\cdot ID\cos(\angle AID)=2\cdot IB\cdot IC\cos(\angle BIC) \) (Am folosit Teorema cosinusului).
\( \Leftrightarrow\frac{IA}{IC}=\frac{IB}{ID} \) relatie care rezulta imediat din asemanarea triunghiurilor \( AIB \) si \( CID \).
Se observa usor faptul ca \( MN \) este axa radicala a cercurilor de diametre \( [AD] \) si \( [BC] \). Mai ramane sa demonstram ca \( I \) se afla pe axa radicala a celor doua cercuri
\( \Leftrightarrow\rho_{C(P;\frac{AD}{2})}(I)=\rho_{C(Q;\frac{BC}{2})}(I) \)
\( \Leftrightarrow IP^2-\frac{AD^2}{4}=IQ^2-\frac{BC^2}{4}. \) Aplicand Teorema medianei in \( \triangle IAD \) si in \( \triangle IBC \) relatia de demonstrat este echivalenta cu:
\( IA^2+ID^2-AD^2=IB^2+IC^2-BC^2 \)
\( \Leftrightarrow 2\cdot IA\cdot ID\cos(\angle AID)=2\cdot IB\cdot IC\cos(\angle BIC) \) (Am folosit Teorema cosinusului).
\( \Leftrightarrow\frac{IA}{IC}=\frac{IB}{ID} \) relatie care rezulta imediat din asemanarea triunghiurilor \( AIB \) si \( CID \).
Feuerbach