Dimitrie Pompeiu Botosani 2008

[maxim bogdan]

Fie \( ABCDEF \) un hexagon convex cu: \( m(\angle A)=m(\angle B)=m(\angle C)=m(\angle D)=m(\angle E)=m(\angle F). \)
Stiind ca lungimile tuturor laturilor si a diagonalei \( AC \) sunt numere naturale si ca produsul oricaror doua laturi opuse este 15,
sa se arate ca exista un triunghi echilateral format cu \( 3 \) dintre laturile hexagonului dat.

[Marius Mainea]

Folosind formula \( \angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F=180^{\circ}(n-2) \) cu n=6

obtinem \( \angle A=120^{\circ} \)

Din teorema cosinusului \( AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot \cos\angle B \)

\( AC^2=AB^2+BC^2+AB\cdot BC \) unde \( AB, BC\in\{1,3,5,15\} \)

si de aici \( AB=3,BC=5 \) sau invers.

Mai departe \( DE=5, EF=3 \) si \( AE\cdot CD=15 \)

Deoarece AE CD nu pot fi 1 si 15 (demonstrati ) , atunci ele sunt 3 si 5 de unde rezulta concluzia problemei.

[maxim bogdan]

Mai trebuie de aratat de asemenea ca nu exista un hexagon \( ABCDEF \) cu toate unghiurile congruente si cu: \( AB=AF=FE=3 \) si \( BC=CD=DE=5 \) care este cea mai interesanta parte a problemei!

[Marius Mainea]

Mai trebuie de aratat de asemenea ca nu exista un hexagon \( ABCDEF \) cu toate unghiurile congruente si cu: \( AB=AF=FE=3 \) si \( BC=CD=DE=5 \) care este cea mai interesanta parte a problemei!

Evident deoarece ABEF si BCDE ar fi trapeze isoscele cu unghiurile de 60 si 120.