Fie bisectoarele \( [BE \) , \( [CF \) in triunghiul \( ABC \) , unde \( E\in (AC) \) si \( F\in (AB) \) . Pentru \( M\in [EF] \)
notam distantele \( x \) , \( y \) , \( z \) de la \( M \) la dreptele \( BC \) , \( CA \) , \( AB \) respectiv. Sa se arate ca \( x = y + z \) .
Generalizare. Fie un triunghi \( ABC \) si doua numere pozitive \( \beta \) , \( \gamma \) . Consideram
punctele \( \left\|\ \begin{array}{c}
F\in (AB)\ ,\ \frac {FA}{FB} = \beta\\\\
E\in (AC)\ ,\ \frac {EA}{EC} = \gamma\end{array}\ \right\| \) . Pentru un punct \( M\in [EF] \) notam distantele
\( x \) , \( y \) , \( z \) de la \( M \) la dreptele \( BC \) , \( CA \) , \( AB \) respectiv. Sa se arate ca \( ax =\frac {by}{\beta} + \frac {cz}{\gamma} \) .
x=y+z (geometrie !).
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Fie u respectiv v distantele de la E respectiv F la dreapta BC. Atunci \( x=\frac{ME}{EF}v+\frac{MF}{EF}u \)
Notand F' respectiv E' picioarele perpendicularelor din F respectiv E pe AC respectiv AB, atunci \( x=\frac{ME}{EF}FF^{\prime}+\frac{MF}{EF}EE^{\prime}=y+z \)
Pentru generalizare procedam la fel cu diferenta ca \( v=\frac{FF^{\prime}b}{{\beta}a} \) si \( u=\frac{EE^{\prime}c}{{\gamma}a} \), aceste relatii fiind obtinute din compararea ariilor triunghiurilor AFC si BFC, respectiv ABE si BCE.
Notand F' respectiv E' picioarele perpendicularelor din F respectiv E pe AC respectiv AB, atunci \( x=\frac{ME}{EF}FF^{\prime}+\frac{MF}{EF}EE^{\prime}=y+z \)
Pentru generalizare procedam la fel cu diferenta ca \( v=\frac{FF^{\prime}b}{{\beta}a} \) si \( u=\frac{EE^{\prime}c}{{\gamma}a} \), aceste relatii fiind obtinute din compararea ariilor triunghiurilor AFC si BFC, respectiv ABE si BCE.