Rezolvati in \( \mathbb{R} \) sistemul :
\( \left\{\begin{array}{rcl}\log_{12}{(x^2-x)}=\log_{4}{y}\\ \log_{12}{(y^2-y)}=\log_{4}{z}\\ \log_{12}{(z^2-z)}=\log_{4}{x}\end{array}\right. \)
Concursul ,,Nicolae Coculescu'' ,2008
Sistem circular
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
din conditiile de existenta ale logaritmilor obtinem
\( x>0,\ x^2-x >0 \) adica \( x>1 \) si analoagele. Atunci functia \( g(x)=x^2-x \) este crescatoare. Logaritmii de puteri supraunitare sunt functii crescatoare, deci \( \log_{12}\circ g \) e functie crescatoare. La fel si \( \log_4 \).
Pentru \( x\geq y\geq z \) se aplica monotonia functiilor de mai sus si se obtine \( x=y=z \). Deci mai avem de rezolvat ecuatia
\( \log_{12}(x^2-x)=\log_4 x \). Echivalent \( \frac{\ln{x}+\ln(x-1)}{\ln 3 +\ln 4}=\frac{\ln x}{\ln 4} \Leftrightarrow \frac{\ln(x-1)}{\ln 3}=\frac{\ln x}{\ln 4} \). De aici se deduce usor ca \( x=4 \).
\( x>0,\ x^2-x >0 \) adica \( x>1 \) si analoagele. Atunci functia \( g(x)=x^2-x \) este crescatoare. Logaritmii de puteri supraunitare sunt functii crescatoare, deci \( \log_{12}\circ g \) e functie crescatoare. La fel si \( \log_4 \).
Pentru \( x\geq y\geq z \) se aplica monotonia functiilor de mai sus si se obtine \( x=y=z \). Deci mai avem de rezolvat ecuatia
\( \log_{12}(x^2-x)=\log_4 x \). Echivalent \( \frac{\ln{x}+\ln(x-1)}{\ln 3 +\ln 4}=\frac{\ln x}{\ln 4} \Leftrightarrow \frac{\ln(x-1)}{\ln 3}=\frac{\ln x}{\ln 4} \). De aici se deduce usor ca \( x=4 \).
Yesterday is history,
Tomorow is a mistery,
But today is a gift.
That's why it's called present.
Blog
Tomorow is a mistery,
But today is a gift.
That's why it's called present.
Blog