Doua cercuri \( \gamma_{1, 2} \) se taie in punctele \( X \) si \( Y \). Prin \( Y \) se duce paralela la tangenta comuna cea mai apropiata. Aceasta intersecteaza a doua oara cercurile \( \gamma_{1, 2} \) in \( A \) respectiv \( B \). Fie \( O \) centrul cercului tangent exterior la \( \gamma_{1, 2} \) si tangent interior la cercul circumscris triunghiului \( AXB \). Aratati ca \( XO \) este bisectoare in unghiul \( \angle AXB \).
[IMAR 2008, Problema 3]
Cercuri tangente
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
-
Filip Chindea
- Newton
- Posts: 324
- Joined: Thu Sep 27, 2007 9:01 pm
- Location: Bucharest
Cercuri tangente
Life is complex: it has real and imaginary components.
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Consider o inversiune de centru \( X \) si putere oarecare. Notam cu \( ^\prime \) transformatele prin inversiune.
Atunci \( \gamma_1\prime , \gamma_2\prime \) sunt doua drepte perpendiculare pe diametrele care trec prin \( X \) ale cercurilor initiale. Cele doua drepte se intersecteaza in \( Y\prime \). Dreapta \( AB \) se transforma in cercul \( (A\prime B\prime Y\prime) \) care trece prin \( X \). Daca notam cu \( t \) tangenta comuna a cercurilor initiale cea mai apropiata de \( Y \) si cu \( S,T \) punctele de tangenta, atunci \( t\prime \) este un cerc care trece prin \( X \), este tangent in \( X \) la cercul \( A\prime B\prime Y\prime \) (pentru ca \( AB || t \) ) si este tangent la \( \gamma_1\prime, \gamma_2\prime \) respectiv in \( S\prime, T\prime \). Mai mult, \( XS\prime,\ XT\prime \) sunt bisectoarele unghiurilor \( \angle Y^\prime XB^\prime,\ Y^\prime XC\prime \), respectiv (1). Cercul de centru \( O \) se transforma in cercul inscris in triunghiul \( A^\prime B^\prime Y^\prime \).
Se obtine configuratia din figura. Cercul \( t^\prime \) este tangent laturilor triunghiului si cercului circumscris. Dintr-o problema cunoscuta (nu prea simpla...) se deduce ca \( O^\prime \in S^\prime T^\prime \) si este chiar mijlocul sau.
Mai departe deoarece \( Y^\prime \) este intersectia tangentelor la cercul circumscris triunghiului \( XT^\prime S^\prime \) rezulta ca \( XY^\prime \) este simediana lui \( X \) in acest triunghi. Din acest fapt si (1) rezulta ca \( XO^\prime \) este bisectoarea unghiului \( \angle A^\prime X B^\prime \), adica \( OX \) este bisectoarea unghiului \( \angle AXB \).
Probabil ca nu este cea mai scurta solutie (am muncit 1 ora jumate la ea...), dar e destul de natural sa consideri o inversiune cand sunt asa de multe cercuri pe-acolo...
Atunci \( \gamma_1\prime , \gamma_2\prime \) sunt doua drepte perpendiculare pe diametrele care trec prin \( X \) ale cercurilor initiale. Cele doua drepte se intersecteaza in \( Y\prime \). Dreapta \( AB \) se transforma in cercul \( (A\prime B\prime Y\prime) \) care trece prin \( X \). Daca notam cu \( t \) tangenta comuna a cercurilor initiale cea mai apropiata de \( Y \) si cu \( S,T \) punctele de tangenta, atunci \( t\prime \) este un cerc care trece prin \( X \), este tangent in \( X \) la cercul \( A\prime B\prime Y\prime \) (pentru ca \( AB || t \) ) si este tangent la \( \gamma_1\prime, \gamma_2\prime \) respectiv in \( S\prime, T\prime \). Mai mult, \( XS\prime,\ XT\prime \) sunt bisectoarele unghiurilor \( \angle Y^\prime XB^\prime,\ Y^\prime XC\prime \), respectiv (1). Cercul de centru \( O \) se transforma in cercul inscris in triunghiul \( A^\prime B^\prime Y^\prime \).
Se obtine configuratia din figura. Cercul \( t^\prime \) este tangent laturilor triunghiului si cercului circumscris. Dintr-o problema cunoscuta (nu prea simpla...) se deduce ca \( O^\prime \in S^\prime T^\prime \) si este chiar mijlocul sau.
Mai departe deoarece \( Y^\prime \) este intersectia tangentelor la cercul circumscris triunghiului \( XT^\prime S^\prime \) rezulta ca \( XY^\prime \) este simediana lui \( X \) in acest triunghi. Din acest fapt si (1) rezulta ca \( XO^\prime \) este bisectoarea unghiului \( \angle A^\prime X B^\prime \), adica \( OX \) este bisectoarea unghiului \( \angle AXB \).
Probabil ca nu este cea mai scurta solutie (am muncit 1 ora jumate la ea...), dar e destul de natural sa consideri o inversiune cand sunt asa de multe cercuri pe-acolo...
Yesterday is history,
Tomorow is a mistery,
But today is a gift.
That's why it's called present.
Blog
Tomorow is a mistery,
But today is a gift.
That's why it's called present.
Blog