Ultrafiltre si multimi masurabile

[Dragos Fratila]

Fie \( \cal{F} \) un ultrafiltru neprincipal pe \( \mathbb{N} \). Aflati daca urmatoarea multime este masurabila sau nu si daca este masurabila care este masura ei:
\( A_{\cal{F}}:=\{\sum_{n\in M}\frac1{2^n} | M\in\cal{F}\} \)
--------------------------------------------------------

Fie \( X \) o multime oarecare. Atunci \( \cal{F}\subset\cal{P}(X) \) se numeste filtru pe \( X \) daca:
1) \( \emptyset\not\in\cal{F} \)
2) daca \( A\in\cal{F} \) si \( A\subset B \) atunci \( B\in\cal{F} \)
3) daca \( A,B\in\cal{F} \) atunci \( A\cap B\in\cal{F} \).

Un ultrafiltru este un filtru maximal in raport cu relatia de ordine data de incluziune, i.e. pt. doua filtre \( \cal{G},\cal{F} \) se spune ca \( \cal{F}<\cal{G} \) daca \( \cal{F}\subset\cal{G} \) (ca multimi).

Un ultrafiltru pe o multime X se poate caracteriza in mai multe feluri.
Daca \( \cal{F} \) este filtru atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) \( \cal{F} \) este ultrafiltru
2) pentru orice \( A\subset X \) ori \( A \) ori \( X\setminus A \) apartine lui \( \cal{F} \)
3) daca \( A_1\cup A_2\in\cal{F} \) atunci ori \( A_1\in\cal{F} \) ori \( A_2\in\cal{F} \).

Un ultrafiltru care contine o multime cu un element se numeste ultrafiltru principal (el este format din toate submultimile lui X care contin acel element). Restul ultrafiltrelor se numesc neprincipale. Orice filtru este continut intr-un ultrafiltru (se face cu Zorn).