Afixele unor puncte importante in triunghi

[elena_romina]

Se da un triunghi ABC de afixe \( z_1, z_2, z_3 \). Aflati afixele lui G, H, O si I.
Pentru G am calculat, dar va rog sa-mi dati o idee pentru H, O si I. Multumesc

[mihai++]

Ce origine ai stabilit?

[elena_romina]

Am luat originea un punct oarecare. Fata de un reper cartezian cu originea in O (centrul cercului circumscris), afixul lui H este \( z_1+z_2+z_3 \)

[elena_romina]

Am reusit sa aflu afixele pana la urma

[elena_romina]

Am stabilit originea in punctul O, centrul cercului circumscris.

Pentru H:

Din relatia lui Sylvester avem ca HG=2GO. Afixul lui G este \( \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \) si de aici rezulta ca afixul lui H este \( z_1+z_2+z_3 \)

Pentru I:

Aplicam teorema bisectoarei si rezulta ca \( A_1B/A_1C=AB/AC=c/b => A_1B/a=c/(b+c)=> BA_1=ac/(b+c) \)
Aplicam din nou teorema bisectoarei: \( AI/IA_1=AB/BA_1=(b+c)/a \),
apoi \( z_I= \frac{z_A+\frac{b+c}{a}z_{A_1}}{\frac{b+c}{a}+1} \).
Dar \( z_{A_1}=\frac{bz_B+cz_C}{b+c} \), iar dupa inlocuire vom obtine \( z_I=\frac{az_A+bz_B+cz_C}{a+b+c} \).

[andy crisan]

\( z_H=z_A+z_B+z_C-2z_O;\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3} \) pt orice origine am alege.