Relatia lui Euler

[moldo]

\( ABCD \) patrulater convex,iar \( E,F \) mij. \( [AC] \) si \( [BD] \)
Sa se dem

\( AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4EF^2 \)

Demonstratia sa fie cu nr complexe.

[moldo]

fara a folosi egalitatea \( |u|^2=u\overline{u} \) si sa se desfaca parantezele ..e prea mult de lucru

[Marcelina Popa]

E si o demonstratie vectoriala destul de simpla (cu produs scalar).

[moldo]

vectoriala o stiu

[Virgil Nicula]

Fie \( ABCD \) un patrulater convex si \( E\ ,\ F \) mijloacele lui \( [AC] \) si \( [BD] \) . Sa se arate ca

\( AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD+4\cdot EF^2 \) (cu nr complexe !)

De fapt relatia Euler este adevarata intr-un tetraedru \( ABCD \) ...

Daca notam mijloacele \( X \) , \( Y \) ale muchiilor \( AB \) , \( CD \) respectiv, atunci

exista relatia \( AB^2+CD^2+4\cdot XY^2=AC^2+AD^2+BC^2+BD^2 \) .

Caz particular. Daca \( D\in (ABC) \) (la limita !), atunci se obtin relatiile Euler intr-un

patrulater convex \( ABCD \). Notam mijloacele \( M \) , \( N \) , \( P \) , \( Q \) , \( E \) , \( F \) ale segmentelor

\( [AB] \) , \( [BC] \) , \( [CD] \) , \( [DA] \) , \( [AC] \) , \( [BD] \) respectiv. Exista relatiile de tip Euler :

\( \odot\ \ AC^2+BD^2+4\cdot EF^2=AB^2+AD^2+CB^2+CD^2 \) .

\( \odot\ \ AB^2+CD^2+4\cdot MP^2=AC^2+AD^2+BC^2+BD^2 \) .

\( \odot\ \ AD^2+BC^2+4\cdot NQ^2=AB^2+AC^2+DB^2+DC^2 \) .

Particularizati relatia Euler la un deltoid (o diagonala este axa de simetrie !), trapez sau paralelogram.

Observatie. In afara de solutia sintetica folosind doar teorema medianei, mie imi place si solutia

cu numere complexe folosind doar \( \overline {\underline {\left\|\ |z|^2=z\cdot\overline z\ \right\|}} \) si \( \overline {\underline {\left\|\ A(a)\ ,\ B(b)\ \Longrightarrow\ AB^2=|a-b|^2\ \right\|}} \) .

Vezi aici patru demonstratii a relatiei lui Euler intr-un patrulater.

[moldo]

ok,multumesc ,astept si dem care sa tina de nr complexe

[Virgil Nicula]

Sa presupunem ca trebuie sa dovedim ca "\( \left(\forall\right) x\in A \) este adevarata proprietatea \( p(x) \)". Se cauta \( B\subset A \) astfel incat este mai usor sa aratam ca "\( \left(\forall\right) x\in B \) este adevarata proprietatea \( p(x) \)". Si ramane de dovedit implicatia "\( \left(\forall\right) x\in B \) este adevarata proprietatea \( p(x) \) \( \Longrightarrow \) \( \left(\forall\right) x\in A \) este adevarata proprietatea \( p(x) \)".

[moldo]

frumos,multumesc domnule Virgil Nicula