Aplicatie inegalitatea Cebasev.

[Virgil Nicula]

Sa se arate ca \( \left\|\begin{array}{c}0<a\le b\le c\\\\
0<m\le n\le p\end{array}\right\|\ \Longrightarrow\ ma^2+nb^2+pc^2\ge mbc+nca+pab \) .

[Filip Chindea]

Solutie. Aplicati convenabil teorema majorizarii (Karamata, Polya sau cum o numeste fiecare) pt \( f(t) := e^t \) convexa pe \( \mathbb{R} \):

Spunem ca \( \mathbf{a} = (a_1, ..., a_n) \) majoreaza \( \mathbf{b} = (b_1, ..., b_n) \) in \( \mathbb{R}^n \), daca

\( a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n \), \( b_1 \ge b_2 \ge ... \ge b_n \),
\( a_1 + \cdots + a_k \ge b_1 + \cdots + b_k \) \( k \in \{1, ..., n-1\} \) si
\( \sum a_j = \sum b_j \).

Atunci, pentru \( f : I \rightarrow \mathbb{R} \) convexa, pe \( I = [a, b] \) interval, si \( \mathbf{a} \) majoreaza pe \( \mathbf{b} \),

\( f(a_1) + \cdots + f(a_n) \ge f(b_1) + \cdots + f(b_n) \).

Demonstratia se face prin inductie, aplicand Jensen. Ma rog, (cu o anumita conditie) exista si o solutie intr-un rand, dar asta nu face obiectul topicului de fata.

PS. Sau mai exista o idee: scrieti

\( \mathrm{RHS} \le \frac{1}{2} (\sum mb^2 + \sum mc^2) \),

si aplicati ineg. rearanjamentelor de 2 ori. Pe moment nu vad alta chestie.

"Carora deseori nu le stie nici macar o demonstratie" era o observatie statistica mai degraba, si nu are legatura cu situatia de fata.

Si de fapt, care sunt "bombele" si chestiile alea "tari" ?!? De fapt teorema poate fi invocata fara sa se stie o demonstratie (fiind in aria cunostintelor de baza), deci nu vad de ce ar trebui sa dau o solutie aici.

[Virgil Nicula]

Solutie. Aplicati convenabil teorema majorizarii (Karamata, Polya sau cum o numeste fiecare) pt \( f(t) := e^t \) convexa pe \( \mathbb{R} \).

Tehnica asta "tare" o poti enunta sa o invete, cel putin pe dinafara, si ceilalti ?! Si cand te
gandesti ca de fapt inegalitatea propusa de mine este foarte usoara, se face intr-un rand ...
Iata ce inseamna ca un elev de clasa a X - a sa fie "dopat" cu tot felul de "bombe atomice"
(carora deseori nu le stie nici macar o demonstratie) pentru a "omori o musca/fluture" ...
Sper ca nu te vei supara pe mine, Filip ! Am dreptul si eu la o parere personala ...

[Marius Mainea]

Sa se arate ca \( \left\|\begin{array}{c}0<a\le b\le c\\\\
0<m\le n\le p\end{array}\right\|\ \Longrightarrow\ ma^2+nb^2+pc^2\ge mbc+nca+pab \) .

Din inegalitatea rearanjamentelor,

\( ma^2+nb^2+pc^2\ge mb^2+nc^2+pa^2 \)

\( ma^2+nb^2+pc^2\ge mc^2+na^2+pb^2 \)

Prin adunare si inegalitatea mediilor, \( b^2+c^2\ge 2bc \), etc., rezulta concluzia.