Segmente si muchii egale in tetraedru

[Claudiu Mindrila]

Fie \( A,B,C,D \) patru puncte necoplanare, \( E,F,G \) picioarele inaltimilor \( \Delta BCD \) si \( R, P, Q \) mijloacele laturilor aceluiasi triunghi \( (E,R \in BC; F,P \in CD ; G, Q \in BD) \)..

\( a) \) Sa se arate ca \( AE=AF=AG \) daca si numai daca \( AR=AQ=AP \).
\( b) \) Daca \( AB=CD \), \( AD=BC \) si \( AC=BD \) sa se arate ca fetele tetraedrului sunt triunghiuri ascutitunghice.

Concursul "Cristian S. Calude", 2000

[Marius Mainea]

b) Se stie ca daca OABC este un triedru nedegenerat si \( \alpha\beta, \gamma \) sunt masurile unghiurilor fetelor triedrului atunci:

\( \alpha+\beta+\gamma< 2\pi \)

\( \gamma<\alpha+\beta \)

\( \beta<\alpha+\gamma \)

\( \alpha<\beta+\gamma \)

Apoi totul rezulta din faptul ca fetele tetraedrului sunt tringhiuri congruente.

[Marius Dragoi]

Daca triedrul este nedegenerat....\( \alpha+\beta+\gamma < 2 \pi \)
In rest este OK.

[Marius Mainea]

a)Proiectam A in O pe planul (BCD).

Atunci AE=AF=AG daca si numai daca O este centrul cercului lui Euler corespunzator triunghiului BCD , daca si numai daca OR=OQ=OP, daca si numai daca AR=AQ=AP.