Scrierea zecimala a lui a plus o limita

[Radu Titiu]

Fie \( a \in (0,1) \) un numar real si \( a = 0,a_1a_2...a_n... \), cu \( a_1, a_2, ... , a_n... \in \{0,1,2,..9\} \) reprezentarea sa zecimala.

\( a) \) Sa se arate ca pentru orice \( x \in (0,1) \) exista si este finita limita:
\(
\lim_{n \to\infty} (a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n)
\).

\( b) \)Daca notam cu \( f_a(x) = \lim_{n \to\infty} (a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n) \), \( x\in (0,1) \), sa se arate ca functia \( f_a: (0,1) \to \mathbb{R} \) este o functie rationala daca si numai daca numarul \( a \) este numar rational.
(Functia \( f_a \) este rationala daca \( f_a(x) = \frac {P(x)}{Q(x)} \), cu \( P,Q \in \mathbb{Z}[X] \)).

Concursul interjudetean Papiu, Tg Mures, 2008 (cls 12)

[Beniamin Bogosel]

a) Daca notam cu \( y_n \) sirul a carui limita vrem sa o aflam, atunci
\( y_{n+p}-y_n\leq x^n\cdot 9 \cdot (1+x+...+x^p)=9x^n\frac{x^{p}-1}{x-1}\to 0 \) cand \( n, p \) tind la infinit. Deci sirul e fundamental, adica convergent. (Cred ca se putea aplica marginirea de la inceput, adica sirul initial e marginit superior de \( 9\frac{1}{1-x} \).)

b) Demonstram ca \( f_a \) e continua. Avem \( |f_a(x)-f_a(y)|\leq |f_a(x)-X_n|+|X_n-Y_n|+|f_a(y)-Y_n|,\ \forall n \in \mathbb{N} \), unde \( X_n=a_1x+...+a_nx^n,\ Y_n=a_1y+...+a_ny^n \). Daca \( x \to y \) si \( n\to \infty \) avem \( X_n \to Y_n,\ \forall n \), \( X_n \to f_a(x) \) si \( Y_n \to f_a(y) \) deci, din inegalitatea de mai sus \( f_a(x)\to f_a(y) \) adica \( f_a \) e continua. (Mai riguros ar fi sa scriem inegalitatile cu \( \varepsilon/3 \) si apoi sa le adunam... Si asa ar trebui procedat corect... Nu stiu pentru ce am demonstrat si asta ca nu ne trebuie.... )

Daca \( f_a \) e functie rationala atunci \( f_a(\frac{1}{10})=a \in \mathbb{Q} \). Daca \( a \) este rational atunci are scrierea periodica \( a=0,b_1...b_l(a_1...a_k) \) si \( f_a(x)=b_1x+...+b_lx^l+x^l\frac{a_1x+...+a_kx^k}{x-1} \).

[Dragos Fratila]

http://mateforum.ro/viewtopic.php?p=2416#2416

cata originalitate...

[Beniamin Bogosel]

Chiar asa... AM vazut problema mai demult, dar nu mi-am adus aminte de ea... Oricum, mi se pare ca (cel putin la ultimele concursuri postate pe forum) la concursuri la clasele 11-12 se cam dau probleme cu serii, si cazuri particulare din teoreme de analiza mai complicate... vezi aici ... Asa ca astfel de probleme nu pot fi considerate deloc originale... Cine stie teoria le fluiera in 5 minute...