x la puterea 2 -4y la puterea n =1
n mai mare ca 1
ecuatie
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
Marcelina Popa
- Bernoulli
- Posts: 208
- Joined: Wed Mar 05, 2008 3:25 pm
- Location: Tulcea
- Contact:
Presupun ca este vorba de ecuatia \( x^2-4y^n=1 \), unde x si y sunt numere intregi.
\( x \) trebuie sa fie impar, deci \( x=2k+1 \), \( k\in{Z} \). Atunci ecuatia devine succesiv:
\( 4k^2+4k+1-4y^n=1 \)
\( k^2+k-y^n=0 \)
\( k(k+1)=y^n \)
Cazul I. Daca \( y=0 => k=0 \) sau \( k=-1 \). Obtinem solutiile \( x=1, y=0 \), respectiv \( x=-1, y=0 \).
Cazul II. Daca \( y \neq 0 \), atunci \( y^n \) este diferit si de 1, si de -1 (fiind par), si este produsul a doua numere prime intre ele, \( k \) si \( k+1 \). Pornind de la descompunerea lui \( y \) in factori primi, se arata ca numerele \( k \) si \( k+1 \) trebuie sa fie, la randul lor, de forma \( a^n \), respectiv \( b^n \), unde \( a \) si \( b \) sunt numere intregi de modul > 1.
\( b^n-a^n=1\ => \ b-a \)divide pe \( \ 1 \) => \( a \) si \( b \) sunt numere consecutive. Daca, de exemplu, \( b=a+1 \), obtinem:
\( (a+1)^n-a^n=1 \), deci
\( (a+1)^n=a^n+1 \),
lucru imposibil pentru \( n>1 \).
Edit. In ultima parte am cam presupus ca \( a > 0 \). Asta nu ne incurca cu nimic, fiindca ecuatia initiala era "para" in raport cu \( x \), adica daca are o solutie \( x \), are si solutia \( -x \). Era, deci, suficient, sa gasim numai solutiile \( (x,y) \) cu \( x>0 \).
\( x \) trebuie sa fie impar, deci \( x=2k+1 \), \( k\in{Z} \). Atunci ecuatia devine succesiv:
\( 4k^2+4k+1-4y^n=1 \)
\( k^2+k-y^n=0 \)
\( k(k+1)=y^n \)
Cazul I. Daca \( y=0 => k=0 \) sau \( k=-1 \). Obtinem solutiile \( x=1, y=0 \), respectiv \( x=-1, y=0 \).
Cazul II. Daca \( y \neq 0 \), atunci \( y^n \) este diferit si de 1, si de -1 (fiind par), si este produsul a doua numere prime intre ele, \( k \) si \( k+1 \). Pornind de la descompunerea lui \( y \) in factori primi, se arata ca numerele \( k \) si \( k+1 \) trebuie sa fie, la randul lor, de forma \( a^n \), respectiv \( b^n \), unde \( a \) si \( b \) sunt numere intregi de modul > 1.
\( b^n-a^n=1\ => \ b-a \)divide pe \( \ 1 \) => \( a \) si \( b \) sunt numere consecutive. Daca, de exemplu, \( b=a+1 \), obtinem:
\( (a+1)^n-a^n=1 \), deci
\( (a+1)^n=a^n+1 \),
lucru imposibil pentru \( n>1 \).
Edit. In ultima parte am cam presupus ca \( a > 0 \). Asta nu ne incurca cu nimic, fiindca ecuatia initiala era "para" in raport cu \( x \), adica daca are o solutie \( x \), are si solutia \( -x \). Era, deci, suficient, sa gasim numai solutiile \( (x,y) \) cu \( x>0 \).