Un elev a observat ca daca alege 100 de numere naturale gaseste printre ele cel putin 10 cu proprietatea ca diferenta a oricare doua dintre ele este un numar divizibil cu 11. Observatia este adevarata pentru oricare 100 de numere naturale? Justificati raspunsul.
Eugenia Vlad
Olimpiada Calarasi 2004 - faza judeteana (1)
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Marcelina Popa
- Bernoulli
- Posts: 208
- Joined: Wed Mar 05, 2008 3:25 pm
- Location: Tulcea
- Contact:
-
thekrisser
- Arhimede
- Posts: 9
- Joined: Mon Nov 03, 2008 2:36 pm
Pentru aceasta problema folosim doar proprietatile relatiei modulo m si principiul lui Dirichlet.
Pentru ca a-b sa fie divizibil cu 11 => a congruent b (mod 11);
Pentru a avea 10 nr dintre care oricum am alege 2, diferenta lor sa se divida cu 11 => a1 congruent a2 congruent a3....... congruent a10 (mod 11); (relatia 1)
Oare gasim 10 astfel de nr in 100 nr?
Exista 11 resturi modulo 11 {0,1,2,3....10}. Avem 100 nr. =>(principiul Dirichlet) =>Exista 10 nr congruenete modulo 11. (relatia 2)
Relatia 1+Relatia 2= qed.
Pentru ca a-b sa fie divizibil cu 11 => a congruent b (mod 11);
Pentru a avea 10 nr dintre care oricum am alege 2, diferenta lor sa se divida cu 11 => a1 congruent a2 congruent a3....... congruent a10 (mod 11); (relatia 1)
Oare gasim 10 astfel de nr in 100 nr?
Exista 11 resturi modulo 11 {0,1,2,3....10}. Avem 100 nr. =>(principiul Dirichlet) =>Exista 10 nr congruenete modulo 11. (relatia 2)
Relatia 1+Relatia 2= qed.