Determinantul unei matrice din M_n(R)

[heman]

Sa se calculeze determinantul \( \Delta = \left|
\begin{array}{ccc}
-1 & a & a & ... & a \\
a & -1 & a & ... & a \\
a & a & -1 & ... & a \\
... & ... & ... & ... & ... \\
a & a & a & ... & -1 \end{array}
\right| \), \( a \in \mathbb{R} \).

[Tudor Micu]

Adunam toate coloanele la prima si dam factor comun pe prima coloana pe \( (n-1)a-1 \). Astfel pe prima coloana avem numai 1.
Adunam la fiecare coloana a determinantului (in afara de prima) prima coloana, inmultita cu \( -a \)
Obtinem astfel o matrice triunghiulara cu 1 si \( n-1 \) de \( -1-a \) pe diagonala principala, al carei determinant este evident \( \Delta=[(n-1)a-1]\cdot (-1-a)^{n-1} \)

Obs. Pentru \( a=0 \) determinantul este \( (-1)^n \)