Dimensiunea subspatiului

[Beniamin Bogosel]

Fie \( V \) subspatiul vectorial al spatiului matricilor de ordinul \( n \), \( \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \), generat de matricile de forma \( AB-BA,\ A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \). Determinati dimensiunea acestui subspatiu.

[Dragos Fratila]

Daca notam cu \( E_{i,j} \) matricea care are 1 pe pozitia \( (i,j) \) si 0 in rest atunci se observa ca \( E_{i,j} = E_{i,j}E_{j,j}-E_{j,j}E_{i,j} \) cu \( i\neq j \) si de asemenea \( E_{i,i}-E_{j,j} = E_{i,j}E_{j,i}-E_{j,i}E_{i,j} \) pentru \( i<j \).
Toate aceste matrice se afla in spatiul vectorial dorit. In plus ele constituie o baza (verificare usoara).
In consecinta dimensiunea spatiului vectorial este \( n^2-1 \).