JBTST IV 2007, Problema 1

[Laurian Filip]

Sa se gaseasca toate submultimile nevide A ale multimii \( \lbrace 2,3,4,5,....} \) cu proprietatea ca pentru orice \( n \in A \), atat \( n^2+4 \) cat si \( [\sqrt{n}]+1 \) sunt de asemenea elemente ale multimii A.

[Omer Cerrahoglu]

Vom arata ca \( 2 \in A \).
Deoarece multimea este nevida exista un element \( n_1 \) in ea.
Definim sirul \( (n_i)_{i \geq 1} \) astfel:
\( n_{i+1}=[\sqrt{n_i}]+1 \), \( \forall i \in {N*} \)
Evident, toti termenii acestui sir sunt in \( A \)
Vom arata ca pt un \( i \) suficient de mare avem ca \( n_k=2 \), \( \forall k\geq i \).
Se demonstreaza relativ usor ca \( n_i \geq 2 \), \( \forall i \geq 1 \). Presupunem ca nu exista \( k \) astfel incat \( n_k=2 \).
Atunci \( n_i \geq 3(1) \), \( \forall i \geq 1 \).
Vom arata ca sirul \( (n_i)_{i \geq 1} \) este strict descrescator. Pentru aceasta este suficient sa aratam ca \( n_{i+1}<n_i \Longleftrightarrow [\sqrt{n_i}]+1<n_i \Longleftrightarrow [\sqrt{n_i}]<n_i-1 \Longleftarrow \sqrt{n_i}<n_i-1 \Longleftrightarrow n_i<(n_i-1)^2 \Longleftrightarrow 3.n_i-1<n_i^2 \Longleftrightarrow 3-\frac{1}{n_i}<n_i \), care este adevarata(Din (1)).
Deci sirul \( (n_i)_{i \geq 1} \) este strict descrescator. Dar nu exista un sir de numere naturale infinit strict descrescator.
Asadar , pentru un \( i \) suficient de mare avem ca \( n_k=2 \), \( \forall k \geq i \).
Deci 2 este in \( A \).
Vom arata ca daca \( n \in A \), atunci \( n+k \in A, \forall k \in N \).
Pentru aceasta este suficient sa aratam ca daca \( n \in A \), atunci si \( n+1 \in A \).(Se demonstreaza dupa aceasta usor-folosind inductia-ca \( n+k \in A, \forall k\in N \)).
Deci, daca \( n \in A \) atunci si \( n^2+4\in A \) si deci si \( [\sqrt{n^2+4}]+1 \in A(2) \).Vom arata ca \( n^2+4<(n+1)^2(3) \) (3) este echivalenta cu \( 4<2n+1 \Leftrightarrow \frac{3}{2}<n \), ceea ce este adevarata deoarece orice element din \( A \) este \( \geq 2 \). Deci (3) este adevarata. Deci \( n^2<n^2+4<(n+1)^2 \Longleftrightarrow n<\sqrt{n^2+4}<n+1 \Longleftrightarrow [sqrt{n^2+4}]=n \). Folosind (2) avem ca \( n+1 \in A \) Deci, daca \( n \in A \), atunci si \( n+1\in A \), deci \( n+k\in A, \forall k \in N \).
Deoarece \( 2 \in A \) avem ca \( A=\{2,3,4,\dots} \)