Concursul "Al. Myller" problema 1

[Bogdan Cebere]

Numerele reale distincte \( x,y,z \) au proprietatea că \( x^3-x=y^3-y=z^3-z \). Să se arate că \( x+y+z= 0 \).

[Ahiles]

Avem \( (x-1)x(x+1)=(y-1)y(y+1)=(z-1)z(z+1) \).
1) \( x,y,z \in (-\infty;-1)\cup (1;+\infty) \). Avem \( x(x+1)(x-1)\not=0 \). Analog pentru \( y,z \) .
Fiindca \( x\not=y\not=z \) avem \( x(x+1)(x-1)\not=y(y+1)(y-1)\not=z(z+1)(z-1) \), contradictie.
2) \( x,y,z\in\{-1;0;1\} \). Atunci avem \( x(x+1)(x-1)=y(y+1)(y-1)=z(z+1)(z-1)=0 \). Fiindca \( x,y,z \) sunt distincte, avem \( (x,y,z)\in\{(0;1;-1);(0;-1;1);(-1;1;0);(-1;0;1);(0;-1;1);(0;1;-1)\} \). In fiecare caz avem \( x+y+z=0 \), c.c.t.d.

[Marius Dragoi]

\( x^3-x=y^3-y \Rightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)=x-y \)
Cum \( x,y, z \) sunt distincte, avem:
\( x^2+xy+y^2=y^2+yz+z^2=z^2+zx+x^2=1 \Rightarrow x^2+xy=z^2+yz \Rightarrow \)
\( \Rightarrow (x-z)(x+z)=(-y)(x-z) \Rightarrow x+z=-y \Rightarrow x+y+z=0 \).

[Omer Cerrahoglu]

Fie \( x^3-x=y^3-y=z^3-z=k \). Consideram polinomul \( P(a)=a^3-a-k \). Evident \( x \), \( y \), \( z \) sunt cele 3 radacini ale polinomului. Folosind relatiile lui Viete pentru polinomul de grad 3 avem ca \( x+y+z=0 \)