IMC 2008 ziua 2 problema 1 Polinoame

[Beniamin Bogosel]

Fie \( k,n \in\mathbb{N}^* \) astfel incat polinomul \( x^{2k}-x^k+1 \) divide pe \( x^{2n}+x^n+1 \). Demonstrati ca \( x^{2k}+x^k+1 \) divide \( x^{2n}+x^n+1 \).

IMC 2008.

[Beniamin Bogosel]

Vad ca nu raspunde nimeni. Atunci o indicatie: luam o radacina primitiva de ordinul \( 3k \) a unitatii, care va trebui sa fie radacina a polinomului \( x^{2n}+x^n+1 \). De aici se obtine o relatie intre \( k \) si \( n \). Folosind aceasta relatie se poate demonstra relativ usor restul.