OIM 2008, ziua 1, pb 2

[Claudiu Mindrila]

\( (a) \) Aratati ca inegalitatea \( \frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2} \geq 1 \) are loc pentru orice numere reale \( x,y,z, \) diferite de \( 1 \).
\( (b) \) Demonstrati ca exista o infinitate de triplete de numere rationale \( x,y,z, \) diferite de \( 1, \) ce satisfac relatia \( xyz=1 \).

Walther Janous, Austria

[Ciprian Oprisa]

De unde ai traducerea asta?

[Marius Dragoi]

Obsevatie : \( xyz=1 \) (chiar si la punctul a) !!!
Dupa realizarea calculelor (destul de usoare) mai ramane de demonstrat:
\( 9 + \sum_{} {x^2y^2} +2\sum_{} {x} \geq 6 \sum_{} {xy} \) \( \Leftrightarrow \) \( 3^2 + \sum_{} {{(xy)}^2} + 2 \sum_{} {(xy)(zx)} \geq 2*3 \sum_{} {(xy)} \) \( \Leftrightarrow \) \( 3^2 + {(\sum_{} {(xy)})}^2 \geq 2*3 \sum_{} {(xy)} \)
Notam: \( \sum_{} {(xy)} = a \)
Atunci avem: \( 3^2 + a^2 \geq 2*3*a \) \( \Leftrightarrow \) \( {(a-3)}^2 \geq 0 \). adevarat

[Laurian Filip]

(ii) Prove that equality case is achieved for infinitely many triples of rational numbers x, y and z.

pt egalitate \( xy+yz+zx=3 \)

\( xyz=1 \) rezulta \( z=\frac{1}{xy} \)

\( xy+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3 \)
\( x^2y^2+x(1-3y)+y=0 \)

\( \Delta=9y^2-6y+1-4y^3 \)
\( \Delta=y^2-4y^3+1-4y+8y^2-2y \)
\( \Delta=(1-4y)(y-1)^2 \)

petru \( y=\frac{1-k^2}{4} \) , cu k natural impar avem delta patrat perfect deci x este rational. Cum x si y sunt rationale at si\( \frac{1}{xy} \) este rational.

Cum k poate fi orice numar impar => avem o infinitate de astfel de triplete.