Sa se arate ca polinomul \( f=X^n+2X^{n-1}+3X^{n-2}+...+nX-1 \), unde \( n\in \mathbb{N}, n \geq 3 \), este ireductibil in \( \mathbb{Z}[X] \).
Ma intereseaza sa vad cel putin doua solutii.
Subiect titularizare 2008
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
-
Marius Damian
- Arhimede
- Posts: 8
- Joined: Thu Sep 27, 2007 10:53 pm
- Location: Braila, Romania
Soluţia I. Vezi baremul (se găseşte pe web).
Soluţia II.
Se foloseşte următoarea teoremă a lui Alfred Brauer:
Dacă \( a_1, a_2, ..., a_n \) sunt numere întregi verificând
\( a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n > 0 \)
atunci polinomul \( p = X^n - a_1 X^{n-1} - ... - a_n \) este ireductibil în \( \mathbb{Z}[X] \).
(p are în fapt o rădăcină de modul >1 şi celelalte de modul <1). [*]
Se aplică această teoremă pentru \( p(X) = - X^n f(1/X) \).
OBS. Probabil că toate soluţiile acestei probleme utilizează variante ale [*]; este posibilă şi aplicarea teoremei lui Rouché.
Soluţia II.
Se foloseşte următoarea teoremă a lui Alfred Brauer:
Dacă \( a_1, a_2, ..., a_n \) sunt numere întregi verificând
\( a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n > 0 \)
atunci polinomul \( p = X^n - a_1 X^{n-1} - ... - a_n \) este ireductibil în \( \mathbb{Z}[X] \).
(p are în fapt o rădăcină de modul >1 şi celelalte de modul <1). [*]
Se aplică această teoremă pentru \( p(X) = - X^n f(1/X) \).
OBS. Probabil că toate soluţiile acestei probleme utilizează variante ale [*]; este posibilă şi aplicarea teoremei lui Rouché.
-
Marius Damian
- Arhimede
- Posts: 8
- Joined: Thu Sep 27, 2007 10:53 pm
- Location: Braila, Romania