Niste limite in care apar siruri recurente

[Mircea Cimpoeas]

Sa se calculeze \( \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2^n}{x_n} \), unde \( x_1=1,\;x_{n+1}=x_n+\sqrt{x_n^2+1} \).

Sa se calculeze \( \lim_{n\rightarrow \infty} 4^n(2-{x_n}) \), unde \( x_1=1,\;x_{n+1}=\sqrt{x_n+2} \).

[Marius Mainea]

Pentru prima limita notam \( x_1=\cot\frac{\pi}{4} \) , apoi prin inductie \( x_n=\cot\frac{\pi}{2^{n+1}} \) si apoi \( \lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{x_n}=\frac{\pi}{2} \)


Pentru a doua analog se arate ca \( x_n=2\cos\frac{\pi}{3\cdot2^n} \) si apoi limita este \( (\frac{\pi}{3})^2 \)