Criteriu pentru difeomorfism (R. Palais)

[Liviu Ornea]

Uitaţi un criteriu util pentru a decide dacă o aplicaţie e difeomorfism al lui \( \mathbb{R}^n \).

Fie \( f_1,\ldots, f_n \) funcţii reale definite pe \( \mathbb{R}^n \), de clasă \( \mathcal{C}^r \), şi
\( f=(f_1,\ldots, f_n) \).
Atunci \( f \) e \( \mathcal{C}^r \)-difeomorfism dacă şi numai dacă:
1. Iacobianul lui \( f \) nu se anulează în nici un punct.
2. \( \lim_{||x||\rightarrow\infty}|| f(x)|| =\infty. \)

Încercaţi o demonstraţie, vedeţi şi dacă se poate extinde la varietăţi.

L.O.

[Alexandru Chirvasitu]

Nu am verificat cu atenţie totul, dar cred că în general, pentru aplicaţii între varietăţi, ar trebui să fie valabilă varianta următoare:

Fie \( f:M\to N \) o aplicaţie de clasă \( \mathcal{C}^r \) (\( r\ge 1 \)) între varietăţile netede conexe \( M \) şi \( N \). Presupunem că:

(i) \( N \) este simplu-conexă;

(ii) \( f \) este \( \mathcal{C}^r \)-difeomorfism local (echivalent cu a spune că pentru orice punct \( p\in M \), dacă exprimăm \( f \) ca aplicaţie între spaţii euclidiene cu ajutorul unor hărţi în jurul punctelor \( p \) şi \( f(p) \), atunci Iacobianul nu se anulează);

(iii) \( f \) este proprie, adică preimaginea prin \( f \) a oricărei mulţimi compacte din \( N \) este compactă.

Atunci \( f \) este \( \mathcal{C}^r \)-difeomorfism al lui \( M \) pe \( N \).

[Liviu Ornea]

Corect.
Dacă ai timp, pune si o demonstraţie.
L.O.

[Alexandru Chirvasitu]

Cum deja e \( \mathcal{C}^r \)-difeomorfism local, mai trebuie demonstrată bijectivitatea.

Surjectivitatea:

Orice aplicaţie proprie între spaţii metrice e aplicaţie închisă, deci în particular \( f(M) \) va fi o submulţime închisă a lui \( N \). Pe de altă parte, fiind difeomorfism local, \( f \) e aplicaţie deschisă, deci \( f(M) \) e şi deschisă în \( N \). \( N \) e conexă, şi atunci trebuie să avem \( f(M)=N \).

Bijectivitatea:

Preimaginea prin \( f \) a unui punct \( q\in N \) e compactă (\( f \) e proprie) şi discretă (\( f \) e difeomorfism local), deci finită (e şi nevidă pentru că tocmai am demonstrat surjectivitatea). Fie \( p_i,\ i=\overline{1,n} \) punctele mulţimii \( f^{-1}(q) \). Atunci putem găsi deschişi mici în jurul punctelor \( p_i \) care sunt duşi de \( f \) difeomorf peste un acelaşi deschis din jurul lui \( q \). Rezultă de aici că \( f:M\to N \) e aplicaţie de acoperire. Cum \( N \) e însă simplu-conexă, nu are spaţii de acoperire netriviale.

[Liviu Ornea]

Excelent! Asta e demonstraţia "standard". Mi se pare interesantă pentru că te duce în mod natural către spaţii de acoperire.
L.O.