O intarire a inegalitatii lui Lagarias legata de RH, own

[Cezar Lupu]

Intr-un articol publicat in American Mathematical Monthly, Jeffrey Lagarias aratat
ca inegalitatea surprinzatoare,

\( \sigma(n)\leq H_{n}+exp(H_{n})\log(H_{n}),\forall n\geq 1(*) \)

unde \( \sigma(n)=\sum_{d/n}d \) este functia "sum-divisor", iar
\( H_{n}=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n} \) reprezinta sirul armonic, este echivalenta cu ipoteza lui Riemann.
Sigur, sfatul meu este: kids don't do \( (*) \) at home atata timp cat ea este echivalenta cu ipoteza lui Riemann, care spune ca zerourile netriviale ale functiei
Riemann Zeta, \( \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}} \) au partea reala \( \frac{1}{2} \). Tot in acelasi numar al revistei, the same Lagarias propune urmatoarea problema:

Sa se arate ca

\( \sigma(n)\leq H_{n}+2exp(H_{n})\log(H_{n}),\forall n\geq 1(**) \)

Problema \( (**) \) poate fi abordata destul de usor. De fapt, incercati sa demonstrati urmatoarea rafinare a inegalitatii \( (**) \), anume:

\( \frac{n^{2}}{\varphi(n)}\leq H_{n}+2exp(H_{n})\log(H_{n}),\forall n\geq 1(***) \)