Inegalitatea 2, cu radicali

Post by **Cezar Lupu** » Mon Oct 01, 2007 10:09 pm

Fie \( x, y, z \) numere reale strict pozitive astfel incat \( x+y+z=3 \). Sa se arate ca \( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx. \)

Baraj Russia, 2002

Marius Mainea · Post by **Marius Mainea** » Sat Jun 21, 2008 5:34 pm

Inegalitate se mai scrie:

\( \sum \sqrt{x}\geq\frac{1}{2}( (x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2) \)

adica

\( \sum x^2+2\sum sqrt{x}\geq9 \).

Dar \( x^2+2\sqrt{x}=x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}\geq3\sqrt[3]{x^2\sqrt{x}\sqrt{x}}=3x \)

si analoagele.

Prin sumarea acestor relatii obtinem inegalitatea din enunt.