Numere complexe care ar trebui sa fie nule

[bae]

Fie \( a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \) numere complexe care satisfac relatia

\( (1+a_{1}^k)(1+a_{2}^k)\cdots (1+a_{n}^k)=1 \) pentru orice k numar natural nenul.

Sa se arate ca \( a_{1}=a_{2}=\dots=a_{n}=0. \)

[Beniamin Bogosel]

Daca desfacem parantezele avem
\( \sum a_i^k+\sum a_i^ka_j^k+...+a_1^ka_2^k...a_n^k=0,\ \forall k \in \mathbb{N}^* \).
Sunt \( 2^{n}-1 \) termeni si daca scriem exact atatea ecuatii este suficient pentru ca din relatiile lui Newton sa rezulte ca toti termenii sunt 0, adica \( a_i=0 \).

[maky]

Cred ca este vorba de "lema" ca daca \( x_i \) au proprietatea ca \( x_1^k+x_2^k+\ldots+x_m^k=0 \) pt orice k natural, atunci \( x_i=0 \) (oricare ar fi i), aplicata pt numerele:
\( a_1 \ , \ a_2 \ , \ \ldots \ , \ a_n \ , \ a_1a_2 \ , a_1a_3 \ , \ldots \ , \ a_{n-1}a_n\ , \ \ldots \ , \ a_1a_2\ldots a_n \). (\( 2^n-1 \) numere).

[Beniamin Bogosel]

Cred ca folosind rezultatul asta se poate demonstra ca orice matrice de ordinul \( n \) care satisface \( \det(A^k+I)=1,\ \forall k \in \mathbb{N}^* \) este nilpotenta.

[Bogdan Posa]

Cred ca folosind rezultatul asta se poate demonstra ca orice matrice de ordinul \( n \) care satisface \( \det(A^k+I)=1,\ \forall k \in \mathbb{N}^* \) este nilpotenta.

Pai de fapt acest topic l-a creat domnul bae datorita acestei probleme