Sistem de ecuatii cu matrice

[heman]

Se considera matricele \( A, B, C \in M_n(\mathbb{R}) \) care satisfac egalitatile: \( A+B=AB, B+C=BC, C+A=CA. \) Sa se determine numarul real \( p \) pentru care este adevarata egalitatea \( A+B+C=p \cdot ABC. \)

[Beniamin Bogosel]

Avem \( (A-I)(B-I)=I \) si analoagele, de unde rezulta ca \( A,B,C \) comuta intre ele.

Atunci avem, inmultind una dintre relatii cu \( A \):
\( ABC=AB+AC=2A+B+C \) si analoagele. Adunam toate aceste 3 relatii si obtinem \( \frac{3}{4}ABC=A+B+C \).