sin x/x este functie strict descrescatoare in primul cadran

[mihai++]

Demonstrati ca \( f(x)=\frac{ sin x}{x} \) este strict descrescatoare pe \( \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) \).

[Marius Mainea]

Se presupun adevarate inegalitatile: \( \sin x<x<\tan x \) pentru\( x\in(0,\frac{\pi}{2}) \)

Aratam ca (*)f(x)>f(x+y) pentru y>0 si \( x, x+y\in (0,\frac{\pi}{2}) \)

(*) \( (x+y)\sin x>x\sin(x+y) \) si se demonstreaza folosind inegalitatile de la inceput.