Functii...
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Functii...
Determinati toate functiile \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) cu proprietatea ca pentru orice \( a<b \in \mathbb{R} \), multimea \( f([a,b]) \) este un interval de lungime \( b-a \).
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Solutie.
Fie \( f \) o functie cu proprietatea de mai sus. Atunci mi se pare destul de clar ca ea satisaface inegalitatea \( |f(x)-f(y)|\leq |x-y|, \forall x, y\in\mathbb{R} \), deci \( f \) este continua. Fiind date \( x, y, x<y \), vom lua \( a, b\in [x, y] \) astfel incat \( f(a)=\sup f \) si \( f(b)=\inf f \) pe intervalul \( [x, y] \). Prin urmare imeginea lui \( f \) prin intervalul \( [x, y] \) este intervalul \( [\inf, \sup ] \), deci vom avea ca \( \{x, y\}=\{a, b\} \), de unde \( f \) este monotona, deci o sa avem ca \( f(x)-x=f(y)-y \). Gasim astfel functiile liniare de tipul \( f(x)=x+c \) (\( f \) este crescatoare) si \( f(x)=-x+c \) (\( f \) este descrescatoare). \( \qed \)
Fie \( f \) o functie cu proprietatea de mai sus. Atunci mi se pare destul de clar ca ea satisaface inegalitatea \( |f(x)-f(y)|\leq |x-y|, \forall x, y\in\mathbb{R} \), deci \( f \) este continua. Fiind date \( x, y, x<y \), vom lua \( a, b\in [x, y] \) astfel incat \( f(a)=\sup f \) si \( f(b)=\inf f \) pe intervalul \( [x, y] \). Prin urmare imeginea lui \( f \) prin intervalul \( [x, y] \) este intervalul \( [\inf, \sup ] \), deci vom avea ca \( \{x, y\}=\{a, b\} \), de unde \( f \) este monotona, deci o sa avem ca \( f(x)-x=f(y)-y \). Gasim astfel functiile liniare de tipul \( f(x)=x+c \) (\( f \) este crescatoare) si \( f(x)=-x+c \) (\( f \) este descrescatoare). \( \qed \)
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.