Subspatiu vectorial

[Mihai Berbec]

Aratati ca orice subspatiu vectorial al lui \( \mathbb{Z}_2^n \) are sau toate elementele pare sau exact jumatate dintre elemente pare.
(Un element al lui \( \mathbb{Z}_2^n \) se zice par daca are un numar par de 1 si impar daca are un numar impar de 1.)

[Beniamin Bogosel]

Ideea e sa vedem ca suma a doua elemente de aceeasi "paritate" este un element "par" si suma a doua elemente de paritati diferite este un element "impar".
Pentru a demonstra acest lucru, fie \( x,y \) doua elemente care contin \( k,l \) de 1, si \( q \) de 1 pe aceeasi pozitii in \( x,y \). Atunci \( x+y \) are \( k+l-2q \) de 1, adica paritatea lui \( x+y \) depinde in modul in care am zis de paritatile lui \( x \) si \( y \).

Acum, problema e simpla. Fie \( H \) un subspatiu vectorial al lui \( \mathbb{Z}_2^n \). Daca nu exista elemente impare in \( H \) am terminat. Altfel exista un element impar \( x_0 \in H \). Consideram \( f:H\to H,\ f(x)=x+x_0 \). Aceasta functie schimba paritatea unui element, si este in acelasi timp bijectiva. Cum spatiul vectorial considerat este finit (\( 2^n \) elemente), si \( H \) este finit. Astfel \( f(\{{\rm elementele pare}\})=\{{\rm elementele impare}\} \) si deoarece \( f \) este bijectiva rezulta ca sunt tot atatea elemente pare cate sunt impare.

Cred ca notiunea de spatiu vectorial este in plus aici. Un spatiu vectorial peste \( \mathbb{Z}_2 \) este, de fapt un grup, pentru ca scalarii sunt 0 si 1. Deci cred ca se putea considera produs direct de grupuri in loc de spatiu vectorial. Atunci proprietatea trebuie demonstrata pentru un subgrup al sau, ceea ce este exact ce am facut si mai sus.

[Mihai Berbec]

Merge si cum zici tu, insa problema asta se trage dintr-o mica problemuta de teoria codurilor si acolo se lucreaza cu spatii vectoriale; de aceea apare subspatiu vectorial acolo.