Functie continua pe portiuni cu integrala nula

[Dragos Fratila]

Dati exemplu de functie \( f:R\to R \), care este continua pe portiuni cu proprietatea ca
\( \int_1^\infty {f(t)dt}=0 \) dar \( \int_1^\infty \frac{f(t)dt}{t}\neq 0 \).

[Alin Galatan]

Sper sa nu gresesc. O fac 0 pe [1, 2) ca sa nu fac urata definitia.
\( f(t)=\frac{1}{2n^2} \) pentru \( t\in [2n, 2n+1) \) si \( f(t)=-\frac{1}{2n^2} \) pentru \( t\in [2n+1, 2n+2) \)
Se vede usor ca \( \int_{2n}^{2n+2}f(t)dt=0 \)
De asemenea, \( \frac{f(t)}{t}+\frac{f(t+1)}{t+1}>0 \) pentru orice \( t\in [2n,2n+1) \)
De aici iese usor ca \( \int_{2n}^{2n+2}\frac{f(t)}{t}dt>0 \), de unde concluzia.