Alte doua probleme din Kvant nr. 5/2007

[mihai miculita]

Problema M2060:
In triunghiul \( ABC \) notam cu \( A_1, B_1, C_1 \) punctele de tangenta ale cercului inscris cu laturile \( [BC], [CA] \) si respectiv \( [AB]. \)Segmentul \( [AA_1] \) intersecteaza a doua oara cercul inscris in punctul Q. Paralela dusa prin varful A la dreapta BC intersecteaza dreptele \( A_1C_1 \) si \( A_1B_1 \) in punctele P si Q. Demonstrati ca unghiul \( \hat{PQR} \equiv \hat{B_1QC_1} \). (A. Polyanski)

Problema M2064:
Un cerc care trece prin virfurile B si C ale triunghiului ABC intersecteaza laturile [AB] si [AC] in punctele D si E. Dreptetele CD si BE se intersecteaza in O. Notam cu M si N centrele cercurilor inscrise in triunghiurile ADE si ODE. Demonstrati ca dreapta MN trece prin mijlocul arcului mic DE. (M. Isaev).

[Marius Mainea]

Problema M2060:

Din paralelismul dreptelor PQ si BC rezulta \( AR=AB_1=AC_1=AP \) Insa folosind puterea punctului fata de cerc avem \( AB_1^2=AQ\cdot AA_1=AQ^2 \) Rezulta \( \angle AA_1B_1=\angle ARQ \) si \( \angle AA_1C_1=\angle APQ \)

Asadar \( \angle B_1A_1C_1=\pi-\angle PQR \)

Insa \( A_1B_1QR \) este inscriptibil deci \( \angle B_1QC_1=\pi-\angle B_1A_1C_1=\angle PQR \)

[Marius Mainea]

Problema M2060:
In triunghiul \( ABC \) notam cu \( A_1, B_1, C_1 \) punctele de tangenta ale cercului inscris cu laturile \( [BC], [CA] \) si respectiv \( [AB]. \)Segmentul \( [AA_1] \) intersecteaza a doua oara cercul inscris in punctul Q. Paralela dusa prin varful A la dreapta BC intersecteaza dreptele \( A_1C_1 \) si \( A_1B_1 \) in punctele P si R. Demonstrati ca unghiul \( \hat{PQR} \equiv \hat{B_1QC_1} \). (A. Polyanski)

Problema M2064:
Un cerc care trece prin virfurile B si C ale triunghiului ABC intersecteaza laturile [AB] si [AC] in punctele D si E. Dreptetele CD si BE se intersecteaza in O. Notam cu M si N centrele cercurilor inscrise in triunghiurile ADE si ODE. Demonstrati ca dreapta MN trece prin mijlocul arcului mic DE. (M. Isaev).

Am modificat R in loc de Q