Extindere care nu este transcendenta pura

[bae]

Sa se arate ca \( K=\mathbb{C}(X)[Y]/(Y^2-X^3+X) \) nu este extindere transcendenta pura a lui \( \mathbb{C} \).

(O extindere de corpuri \( K\subset L \) se numeste transcendenta pura daca orice element din \( L\setminus K \) este transcendent peste \( K \).)

[Dragos Fratila]

Cred ca K/L transcendent pur inseamna ca K este izomorf cu un corp de functii peste L (i.e. \( L(X_1,X_2,...) \)).
Daca gradul de transcedenta e cel putin 3 atunci definitia asta cu cea din problema nu coincid. Sunt exemple de subcorpuri ale lui C(X,Y,Z) care nu sunt corpuri de functii. Nu stiu cum e in cazul 1 si 2.

Problema se poate rezolva scolareste incercand sa vedem ca K nu e izomorf cu \( C[T] \) sau, mai conceptual cred, exercitiul 6.2, pagina 46 din Hartshorne - Alg. Geom.

Fie \( Y \) = curba ce are inelul de functii regulate \( A = k[x,y]/(y^2-x^3+x) \) unde k este un corp de caracteristica diferita de 2.
Dem ca:
a) Y nesingulara si A domeniu de integritate.
b) daca \( k[x]\subset K(Y) \) demonstrati ca k[x] este inel de polinoame si ca A este inchiderea intreaga a lui \( k[x] \) in \( K(Y) \).
c) exista \( \sigma:A\to A \) automorfism ce il lasa pe x pe loc si il trimite pe y in -y.
Daca \( a\in A \) definim \( N(a) = a\sigma a \). Demonstrati ca \( N(a)\in k[x] \), \( N(1)=1, N(ab)=N(a)N(b), \forall a,b\in A \).
d) folosind N dem. ca unitatile lui A sunt elementele lui k*. Demonstrati ca x si y sunt elemente ireducitibile ale lui A. Dem ca A nu e UFD.
e) Dem ca Y nu e birationala cu \( \mathbb{P}^1. \)
f) Deduceti ca \( K(Y)/k \) nu este transcedenta pura.

[Dragos Fratila]

In cazul in care gradul de transcendenta este 1, atunci orice subcorp este corp de functii (Luroth). Cred ca este valabila si pentru grad de transcendenta 2 in cazul in care corpul este algebric inchis si de caracteristica 0.

Intr-adevar (pentru subcorpuri ale corpurilor de functii), pentru 1 e Luroth si pentru 2 a facut Castelnuovo (pt nealgebric inchis exista contraexemple).
Eu ma refeream ca nu stiu daca sunt echivalente definitiile de pur transcedent in cazul 1 si 2.