Old but good

[Claudiu Mindrila]

Fie \( a,b,c \in \mathbb{R}^{*} \). Demonstrati ca \( \sqrt{a^2-ac+c^2}+ \sqrt{b^2-bc+c^2} \geq \sqrt{a^2+ab+b^2} \)

[Beniamin Bogosel]

Indicatie: Inegalitatea triunghiului... Mai trebuie gasit acest triunghi

[Marius Mainea]

Claudiu, foloseste inegalitatea lui Minkovski (triunghiului): \( \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{a^2+b^2}\geq\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2} \)

[Claudiu Mindrila]

Bine punctat Beniamin Bogosel. Fie \( AOB \) un unghi cu masura de \( 120^ \circ \), iar \( C \) un punct pe bisectoarea lui. De asemenea notam
\( a=OA \), \( b=OB \), \( c=OC \). Scriind teorema cosinusului obtinem ca: \( AC^2=a^2+c^2-ac \), \( BC^2=b^2+c^2-bc \), iar \( AB^2=a^2+b^2+ab \).
Inegalitatea din enuntul problemei este echivalenta cu: \( AC+BC \geq AB \).
Este necesara analiza a doua situatii:
\( 1: C\in[AB] \), de unde rezulta ca \( AC+BC=AB \).
\( 2:C\notin[AB] \), de unde rezulta ca \( AC+BC>AB \).
Rezulta cerinta...

[Beniamin Bogosel]

Mi se pare ca trebuie o mica discutie: numerele tale nu sunt pozitive in enunt, deci nu poti sa iei direct laturile unui triunghi. Probabil dupa ce schimbi cate un semn in anumite cazuri. Cam tot aceeasi idee se aplica...

[Claudiu Mindrila]

Ai dreptate Beniamin Bogosel, in enunt era \( \mathbb{R}_+ \) nu \( \mathbb{R}^* \). Aceasta este o problema din Gazeta Matematica, mai exact problema \( 4 \) de la Concursul Anual al Rezolvitorilor din \( G.M. 11-12/1989 \)

[Marius Mainea]

Inegalitatea are loc pentru orice numere reale.