Concursul "Dimitrie Pompeiu" 2008, subiectul 2

[Bogdan Cebere]

Fie \( f:R \to (0,\infty ) \) cu proprietatile:
i) \( f \) este strict descrescatoare pe \( R \) si \( f(0)=1 \);
ii) \( f \) este derivabila in \( x_0=0 \) si \( f^{\prime}(0)=-1 \).
Definim sirul \( (a_n) \) prin \( a_1 >0 \) si \( a_{n+1}=a_n \cdot f(a_n), \forall n \in N \).
a) Aratati ca sirul \( (a_n) \) este convergent si calculati \( \lim _{n \to \infty} a_n \).
b) Calculati \( \lim _{n \to \infty} (n \cdot a_n) \).