Concurenta
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Concurenta
Fie \( ABCD \) un patrulater inscriptibil. Daca notam cu \( \omega_X \) centrul cercului lui Euler al triunghiului format de cele trei puncte dintre \( A,B,C,D \) care sunt diferite de \( X \), demonstrati ca dreptele \( X\omega_X,\ X \in \{A,B,C,D\} \) sunt concurente.
Scriem vectorul:
\( $\vec{\omega_A\omega_B}=\vec{O\omega_B}+\vec{\omega_A O}$ \), dar stiind ca centrul cercului lui Euler se afla la jumatatea distantei dintre O si H, atunci avem relatia lui Sylvester:
\( $\vec{\omega_A\omega_B}=\frac{\vec{OA}+\vec{OC}+\vec{OD}}{2}+\frac{\vec{CO}+\vec{DO}+\vec{BO}}{2}=\frac{\vec{BA}}{2}$ \).
Evident avem aceeasi relatie si pentru \( BC \). Deci \( \omega_A\omega_BAB \) este un trapez. Intersectia diagonalelor o vom nota S. Deci avem:
\( $\frac{\omega_A S}{AS}=\frac{\omega_B S}{BS}=1/2$ \), dar stim ca si \( $\frac{T\omega_C}{CT}=\frac{T\omega_B}{BT}=1/2$ \), unde T este intersectia diagonalelor trapezului \( $BC\omega_C\omega_B$ \). Inseamna ca T=S, deoarece exista si este unic un punct apartinand unui segment, in cazul nostru \( $[B\omega_B]$ \), care sa il imparta intr-un raport dat (1/2). Deci \( $B\omega_B \cap C\omega_C \cap A\omega_A=\left\{S\right\}$ \). Analog, vom proceda pentru a demonstra ca \( $D\omega_D$ \) este concurent cu restul dreptelor in S.
\( $\vec{\omega_A\omega_B}=\vec{O\omega_B}+\vec{\omega_A O}$ \), dar stiind ca centrul cercului lui Euler se afla la jumatatea distantei dintre O si H, atunci avem relatia lui Sylvester:
\( $\vec{\omega_A\omega_B}=\frac{\vec{OA}+\vec{OC}+\vec{OD}}{2}+\frac{\vec{CO}+\vec{DO}+\vec{BO}}{2}=\frac{\vec{BA}}{2}$ \).
Evident avem aceeasi relatie si pentru \( BC \). Deci \( \omega_A\omega_BAB \) este un trapez. Intersectia diagonalelor o vom nota S. Deci avem:
\( $\frac{\omega_A S}{AS}=\frac{\omega_B S}{BS}=1/2$ \), dar stim ca si \( $\frac{T\omega_C}{CT}=\frac{T\omega_B}{BT}=1/2$ \), unde T este intersectia diagonalelor trapezului \( $BC\omega_C\omega_B$ \). Inseamna ca T=S, deoarece exista si este unic un punct apartinand unui segment, in cazul nostru \( $[B\omega_B]$ \), care sa il imparta intr-un raport dat (1/2). Deci \( $B\omega_B \cap C\omega_C \cap A\omega_A=\left\{S\right\}$ \). Analog, vom proceda pentru a demonstra ca \( $D\omega_D$ \) este concurent cu restul dreptelor in S.