Functie de doua ori derivabila si care rezulta marginita
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
bogdanl_yex
- Pitagora
- Posts: 91
- Joined: Thu Jan 31, 2008 9:58 pm
- Location: Bucuresti
Functie de doua ori derivabila si care rezulta marginita
Fie \( f:R\to R \) o functie de doua ori derivabila cu proprietatea \( f(x) + f^{{\prime}{\prime}}(x)=-xg(x)f^{\prime}(x)) \), \( \forall x \in R \), unde \( g(x) \geq 0, \forall x \in R \). Aratati ca \( f \) este marginita.
"Don't worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater"(Albert Einstein)
-
Bogdan Cebere
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Nov 04, 2007 1:04 pm
Fie \( h(x)=f^2(x)+(f \prime(x))^2 \).
\( h \prime(x)=2f(x)f \prime(x)+2f \prime (x) f \prime \prime (x)=-2xg(x)(f \prime (x))^2 \), deci h este descrescatoare. Observam ca este suficient sa aratam ca f este marginita pe \( R_+ \), deoarece pt valori negative satisface aceeasi relatie. Avem ca \( f^2(x) \leq h(x) \leq h(0) \),deci \( f \) marginita.
\( h \prime(x)=2f(x)f \prime(x)+2f \prime (x) f \prime \prime (x)=-2xg(x)(f \prime (x))^2 \), deci h este descrescatoare. Observam ca este suficient sa aratam ca f este marginita pe \( R_+ \), deoarece pt valori negative satisface aceeasi relatie. Avem ca \( f^2(x) \leq h(x) \leq h(0) \),deci \( f \) marginita.