BMO 2008 Problema 2

[Beniamin Bogosel]

Exista un sir \( a_1,a_2,... \) de numere reale strict pozitive care satisface simultan urmatoarele inegalitati pentru orice \( n \in \mathbb{N}^* \):
a) \( a_1+a_2+...+a_n\leq n^2 \);
b) \( \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\leq 2008 \) ?

[Beniamin Bogosel]

Pentru cei care au facut ceva analiza, cred ca urmatoarea problema este cunoscuta (eu o stiu din cartea domnului profesor Nicula):

Fie un sir \( x_n \) de numere strict pozitive, astfel incat pentru orice \( n\in \mathbb{N}^* \) avem \( x_1+x_2+...+x_n\leq n^2 \).
Sa se demonstreze ca \( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\to \infty \).

Se observa ca aceasta problema nu numai ca rezolva problema, dar ne arata ca in loc de 2008 putea fi pusa orice constanta reala.

[Cezar Lupu]

Pentru cei care au facut ceva analiza, cred ca urmatoarea problema este cunoscuta (eu o stiu din cartea domnului profesor Nicula):

Fie un sir \( x_n \) de numere strict pozitive, astfel incat pentru orice \( n\in \mathbb{N}^* \) avem \( x_1+x_2+...+x_n\leq n^2 \).
Sa se demonstreze ca \( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\to \infty \).

Se observa ca aceasta problema nu numai ca rezolva problema, dar ne arata ca in loc de 2008 putea fi pusa orice constanta reala.

Da mai Beni, ai dreptate. Problema asta de care zici tu o fac in fiecare an la pregatire la cei de-a 11-a de la ICHB pentru ONM. Stiu ca o lucram si eu cand ma pregateam pentru Olimpiada.
Schema este clasica deja: , anume:
Consideram sirul \( y_{n}=\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\ldots +\frac{1}{x_{n}} \). Se arate usor de tot ca este crescator. Deci, este suficient sa aratam ca nu are limita finita. Pe de alta parte, avem din inegalitatea CBS
\( y_{2n}-y_{n}\geq \frac{n^{2}}{x_{n+1}+x_{n+2}+\ldots +x_{2n}} \).
Cum \( \frac{n^{2}}{x_{n+1}+x_{n+2}+\ldots +x_{2n}}>\frac{n^{2}}{x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{2n}}\geq\frac{n^{2}}{4n^{2}}=\frac{1}{4} \).
Concluzia se impune. \( \qed \)