Campionatul de sah

[Beniamin Bogosel]

Sunt mai multi maestri de sah in Moscova, decat in restul Rusiei la un loc. Este planificat un campionat de sah la care sunt asteptati toti maestrii din Rusia. S-a hotarat ca acest campionat ar trebui sa aiba loc intr-un loc care minimizeaza distanta parcursa de toti participantii. Maestrii din Moscova sustin ca, datorita acestui criteriu, ar trebui ca acest campionat sa se tina la Moscova. Participantii din estul Siberiei sustin ca ar trebui ales un loc sau un oras mai aproape de centrul de greutate al sistemului de puncte format de orasele jucatorilor ar fi mai potrivit. Unde ar trebui tinut campionatul?

[Laurian Filip]

Presupunem ca punctul P in care se atinge minimul sumei distantelor este in afara Moscovei. Si notam restul oraselor cu \( A_1,A_2,...A_n \) unde \( a_i \) reprezinta numarul de maestri din acel oras.
Se obs ca \( m>a_1+a_2+...a_n \) unde m reprezinta numarul maestrilor din Moscova.

Din inegalitatea triunghiului stim ca \( A_iP+PM>A_iM \).
De unde
\( S=a_1 \cdot A_1P+a_2 \cdot A_2P+...+a_n \cdot A_NP+m \cdot MP \)
\( S>a_1(A_1P+MP)+...+a_n(A_nP+MP)+(m-(a_1+a_2+...+a_n)MP \)
\( S>a_1 \cdot A_1M +...+a_n \cdot A_nM \) - adica cazul cand P este chiar Moscova.

Deci presupunerea facuta este falsa si \( P=M \).