Curba intr-un spatiu Hilbert nicaieri "derivabila"

[Dragos Fratila]

Pentru fiecare spatiu Hilbert H infinit dimensional construiti o functie continua si injectiva f din [0,1] in H cu proprietatea ca oricare ar fi \( 0\le a<b\le c<d\le 1 \) sa avem \( f(b)-f(a)\perp f(d)-f(c) \).

[Consonant]

Fie \( H=L^2[0,1] \) si \( A \) operatorul de multiplicare cu variabila indepedendenta: \( (Af)(t)=tf(t) \) pentru orice \( f\in L^2[0,1] \) si a.p.t \( t\in[0,1] \). Operatorul \( A \) este autoadjunct si marginit, are spectrul intregul segment \( [0,1] \), si nu are valori proprii. Conform teoriei spectrale in spatii Hilbert, fie \( E \) masura spectrala a operatorului \( A=\int_0^1 tdE(t) \). Consideram functia \( e_0\in L^2[0,1] \) definita prin \( e_0(t)=1 \) a.p.t. Definim functia \( f:[0,1]\rightarrow L^2[0,1] \) prin \( f(x)=\int_0^xdE(t)e_0 \). Functia \( f \) este continua intrucat operatorul \( A \) nu are valori proprii, si deci masura spectrala \( E \) nu incarca nici un punct. Functia \( f \) este injectiva intrucat suportul masurii \( d\mu(t)=\langle dE(t)e_0,e_0\rangle \) este intreg intervalul \( [0,1] \). Fie \( 0\leq a< b\leq c<d\leq 1 \). Atunci \( \langle f(b)-f(a),f(d)-f(c)\rangle = \langle \int_{[a,b]\cap[c,d]} dE(t)e_0,e_0\rangle=0 \) deoarece cele doua intervale au in comun cel mult un punct, iar masura \( d\mu(t) \) nu incarca punctele izolate.

Daca \( H \) este un spatiu Hilbert infinit dimensional, deoarece \( L^2[0,1] \) este separabil acesta se poate identifica izometric cu un subspatiu inchis in \( H \), si deci contructia de mai sus se poate transporta in \( H \).

N.B. Personal, as prefera o solutie care sa nu utilizeze rezultate tari de teorie spectrala.

[Dragos Fratila]

Interesant!
O alta solutie ar fi asa:
\( f:[0,1]\to L^2([0,1]), f(t)=\chi_{[0,t]} \).

[Consonant]

Pai, este aceeasi solutie! Daca scriu efectiv masura spectrala a operatorului \( A \) avem \( E(\Delta)=\chi_\Delta \), in sensul ca proiectia \( E(\Delta) \) este operatorul de multiplicare cu functia \( \chi_\Delta \), unde \( \Delta \) este orice multimpe Borel din \( [0.1] \). Daca incercam sa justificam proprietatile functiei \( f=\chi_{[0,\cdot]} \), in sensul enuntului problemei, aceasta revine la afirmatiile corespunzatoare teoriei spectrale a operatorului \( A \). Pe de alta parte, aceste justificari pot fi facute si fara teorie spectrala, invocand insa argumente de teoria masurii. Daca imi pot permite o comparatie, solutia explicita este intr-adevar mai simpla, insa solutia spectrala pune aceasta solutie intr-o perspectiva mai generala.

Cred ca frumusetea problemei consta atat in maniera geometrica a enuntului cat si a fortarii puterii noastre de a ne imagina spatiile infinit dimensionale.

[Alexandru Chirvasitu]

Şi când mă gândesc ce argument alambicat am folosit eu aici acum vreo câţiva ani ..

Un lucru interesant care a fost subliniat de alekk în mesajul de pe MathLinks e că există o "unică" astfel de curbă, adică unică până la izometrii ale spaţiului ambiant şi până la reparametrizări ale curbei.

[aleph]

Interesant!
O alta solutie ar fi asa:
\( f:[0,1]\to L^2([0,1]), f(t)=\chi_{[0,t]} \).

Un alt fapt interesant este că aceeaşi funcţie dar cu valori în \( L^1([0,1]) \) este un exemplu de aplicaţie Lipschitz nicăieri derivabilă.