Sectiune de teoria multimilor

[spx2]

E necesara o astfel de sectiune?

[bae]

***

[spx2]

S-ar putea sa postez o problema sau doua.
Totusi cum se poate studia in facultatea de matematica analiza si algebra la nivel atat de ridicat (pe care fara nici o rusine pot spune ca nu le stapanesc de nici o culoare) in conditiile in care baza nu se studiaza destul de bine?
Daca teoria multimilor nu e stiuta, cum putem construi asupra ei urmatoarele domenii:

teoria masurii
algebra cu inele si grupuri sau teorie galois
topologie ?

De ce se insista pe acestea cand nici macar baza nu e bine tratata ?
Cum poate un student sa invete lucruri noi daca nu le cunoaste bine nici macar pe acelea de baza din teoria multimilor ?
Astfel el ajunge sa construiasca asupra unor notiuni pe care nu le stapaneste si ajunge la un moment dat sa-si dea seama ca nu stie cu ce lucreaza, nu stie ce sunt de fapt obiectele studiului care apar tot mai straine si tot mai straine pe masura ce lucrurile inainteaza.
Si acest lucru este foarte trist si descurajant.

P.S. Daca nu luati in serios mesajul meu atunci considerati-l doar ca pe o frustrare personala care ma macina pe zi ce trece.

[Liviu Ornea]

Sincer, nu mi se pare ca nu se face indeajuns teoria multimilor. Atit cit se face la cursurile de analiza, algebra si logica mi se pare suficient pentru cursurile ulterioare pe care le-ai enumerat. Daca s-ar face mai mult, ar fi deja "teoria multimilor pentru ea insasi", cu bataie spre axiomatica, logica, fundamente: domenii foarte interesante, dar nu tocmai potrivite pentru cursuri obligatorii de licenta.
Care anume notiuni/teoreme de teoria multimilor ai simtit ca iti trebuie, la teoria masurii, de exemplu, si nu le aveai dinainte sau nu au fost corect si bine introduse la cursul respectiv?
L.O.

[spx2]

Sincer, nu mi se pare ca nu se face indeajuns teoria multimilor. Atit cit se face la cursurile de analiza, algebra si logica mi se pare suficient pentru cursurile ulterioare pe care le-ai enumerat.
Daca s-ar face mai mult, ar fi deja "teoria multimilor pentru ea insasi", cu bataie spre axiomatica, logica, fundamente:

Oricum se ajunge la asa ceva si nu rare sunt momentele cand se face referire
la Zorn si lema sa chiar daca aceasta e folosita.
Citat Nita Nastasescu Algebra "lema lui Zorn enunt[...] In teoria multimilor se demonstreaza."
Daca nu e demonstrata de ce poate fi folosita ?

domenii foarte interesante, dar nu tocmai potrivite pentru cursuri obligatorii de licenta.
Care anume notiuni/teoreme de teoria multimilor ai simtit ca iti trebuie, la teoria masurii, de exemplu, si nu le aveai dinainte sau nu au fost corect si bine introduse la cursul respectiv?
L.O.

Predomina la teoria masurii exprimarea "reuniuni/intersectii numarabile" etc.
Ce se intampla daca cele mentionate mai sus sunt nenumarabile ?
De ce e necesara restrictia aceasta ?

[Liviu Ornea]

De ce se folosesc \sigma-inele/algebre la teoria masurii ar trebui sa va lamureasca cei care tin cursuri de teoria masurii, nu e necesar un curs de teoria multimilor pentru asta.
Intrebarea ta e prost pusa. Facem, de exemplu, geometrie peste corpuri. Nu inseamna ca e necesar un alt curs in care sa facem geometrie peste inele.
Lema lui Zorn este un rezultat tare, necesar in multe teorii, dar care nu se poate face la inceputul facultatii. Tine de axiomatica, domeniu greu, aparent arid, care merge facut, eventual, la sfirsit (nu te-ai intrebat de ce fundamentele geometriei se fac in ultimul an?).
Daca faci o cautare pe amazon vei gasi o singura carte de teoria multimilor: Set Theory (Perspectives in Mathematical Logic) de Thomas J. Jech. Asta ca sa te convingi ca ce ai vrea tu (dar nu mi-e clar ca stii exact ce vrei) nu prea exista.
L.O.

[spx2]

De ce se folosesc \sigma-inele/algebre la teoria masurii ar trebui sa va lamureasca cei care tin cursuri de teoria masurii, nu e necesar un curs de teoria multimilor pentru asta.
Intrebarea ta e prost pusa.

Nu cred ca e prost pusa, nu am pus-o la intamplare.

Facem, de exemplu, geometrie peste corpuri. Nu inseamna ca e necesar un alt curs in care sa facem geometrie peste inele.
Lema lui Zorn este un rezultat tare, necesar in multe teorii, dar care nu se poate face la inceputul facultatii.

Nu numai ca nu se face in inceputul ei, nu s-a facut la nici un curs sau seminar de-al meu.
Si totusi este folosita din abundenta peste tot unde profesorii au nevoie, o folosesc chiar fara nici o jena, unii dintre ei ramanand foarte uimiti la faptul ca studentii nici macar nu o pot enunta.

Tine de axiomatica, domeniu greu, aparent arid, care merge facut, eventual, la sfirsit (nu te-ai intrebat de ce fundamentele geometriei se fac in ultimul an?)

Ce anume intelegeti prin arid in cazul asta ? Ca nu s-a mai dezvoltat de mult timp ?
Ca nu e nimeni interesat de ea ?

Daca teoria multimilor e grea, atunci de ce se face TEORIA MASURII, care
E CU MULT MAI GREA decat teoria multimilor ?

(Nu nu m-am intrebat de ce, si stiti de ce nu m-am intrebat? Va spun eu de ce. Pentru ca materia a fost atat de grea incat nu am mai ajuns vreodata la nici un fundament de-al ei.
Maniera uzuala in care stiam ca se fac lucrurile este de la baza/fundamente
pana la un anumit nivel accesibil.
De ce anume se fac fundamentele la final ? Va pun iar intrebarea pe care mi-ati adresat-o pentru ca eu NU imi pot raspunde la ea.)

Daca faci o cautare pe amazon vei gasi o singura carte de teoria multimilor: Set Theory (Perspectives in Mathematical Logic) de Thomas J. Jech.

1) Halmos - Naive Set Theory
2) Problems and Theorems in Classical Set Theory - Peter Komjath and Vilmos Totik

Deci nu e singura carte, mai mult, 2) are si probleme poate chiar rezolvate.

Asta ca sa te convingi ca ce ai vrea tu (dar nu mi-e clar ca stii exact ce vrei) nu prea exista.
L.O.

Cum adica nu prea exista ? Exista sau nu exista ?

[Liviu Ornea]

Impresia mea e ca tu mai mult vrei sa te afli in treaba decit sa discuti serios.
Daca nu stii ce inseamna "naive set theory"...
Daca nu stii ce inseamna "arid"...
Eu, unul, am incheiat aici discutia.
L.O.

[bae]

***

[lasamasatelas]

Am eu o problema.

Daca avem doua cardinale (infinite, pt. finite e usor) \( \alpha<\beta \) rezulta oare ca \( 2^\alpha<2^\beta \)? "Normal" ar fi sa rezulte dar n-am reusit sa arat. Sigur s-a mai gandit la ea si altcineva.

Stie cineva ceva? E adevarata, falsa sau cumva e una dintre problemele acelea nedecidabile din teoria multimilor, cum este ipoteza continuumului? Sunt f. curios.

[aleph]

Daca avem doua cardinale (infinite, pt. finite e usor) \( \alpha<\beta \) rezulta oare ca \( 2^\alpha<2^\beta \)?
...
E adevarata, falsa sau cumva e una dintre problemele acelea nedecidabile din teoria multimilor, cum este ipoteza continuumului? Sunt f. curios.

Mă simt obligat să răspund la întrebare, având în vedere numele pe care mi l-am ales [deşi nu sunt specialist în domeniu].

Într-adevăr problema este indecidabilă. Formula 2^aleph0 = 2^aleph1 (numită conjectura lui Luzin) este consistentă cu axiomele ZF.
Afirmaţia este totuşi adevărată în cadrul ipotezei generalizate a continuu-lui (GCH); o demonstraţie se află în vechea carte a lui Sierpinski despre numere cardinale şi ordinale.