JBMO 2007 problema 2
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
-
Laurian Filip
- Site Admin
- Posts: 344
- Joined: Sun Nov 25, 2007 2:34 am
- Location: Bucuresti/Arad
- Contact:
JBMO 2007 problema 2
Fie ABCD un patrulater convex avand \( m(\widehat{DAC}) \)=\( m(\widehat{BDC}) \)=\( 36^{\circ} \), \( m(\widehat{CBD}) \)=\( 16^{\circ} \) si \( m(\widehat{BAC}) \)=\( 72^{\circ} \). Diagonalele AC si BD se intersecteaza in punctul P. Sa se determine masura unghiului \( m(\widehat{APD}) \).
Filip: \( m(\angle{CBD})=18^\circ \).
Soultie.
Fie \( O \) - centrul cercului circumscris triunghiului \( BCD \).
1) \( O \) se afla in semiplanul determinat de dreapta \( AC \) in care se afla punctul \( B \). Atunci \( \angle{COD}=2\angle{CBD}=36^\circ \) si \( \angle{ODC}=72^\circ \). Fiindca \( \angle{DOC}=\angle{CAD}, \) COAD - inscriptibil, deci \( \angle{BAO}=\angle{ODC}=72^\circ \). Dar \( \angle{OAB}=72^\circ-72^\circ=0 \), deci \( O \) se afla pe \( AB \).
2) \( O \) se afla in semiplanul determinat de dreapta \( AC \) in care se afla punctul \( D \). Din \( 1) \) avem patrulaterul \( OACD \) inscriptibil, deci \( \angle{CAO}=180^\circ-\angle{CDO}=108^\circ \). Dar \( \angle{BAO}=\angle{BAC}+\angle{CAO}=180^\circ \), deci \( O \) se afla pe \( AB \).
3) Daca \( O \in AC \), atunci \( O=A \).
Avem \( O \) se afla pe \( AB \). Evident ca \( O \) se afla pe \( (BA \), fiindca triunghiul \( BCD \) obtuzunghic. Avem \( \angle{CAB}=\angle{COB} \), deci \( A=O \) si \( AB=AD=AC \), \( \angle{ACD}=72^\circ, \angle{APD}=108^\circ. \)
Soultie.
Fie \( O \) - centrul cercului circumscris triunghiului \( BCD \).
1) \( O \) se afla in semiplanul determinat de dreapta \( AC \) in care se afla punctul \( B \). Atunci \( \angle{COD}=2\angle{CBD}=36^\circ \) si \( \angle{ODC}=72^\circ \). Fiindca \( \angle{DOC}=\angle{CAD}, \) COAD - inscriptibil, deci \( \angle{BAO}=\angle{ODC}=72^\circ \). Dar \( \angle{OAB}=72^\circ-72^\circ=0 \), deci \( O \) se afla pe \( AB \).
2) \( O \) se afla in semiplanul determinat de dreapta \( AC \) in care se afla punctul \( D \). Din \( 1) \) avem patrulaterul \( OACD \) inscriptibil, deci \( \angle{CAO}=180^\circ-\angle{CDO}=108^\circ \). Dar \( \angle{BAO}=\angle{BAC}+\angle{CAO}=180^\circ \), deci \( O \) se afla pe \( AB \).
3) Daca \( O \in AC \), atunci \( O=A \).
Avem \( O \) se afla pe \( AB \). Evident ca \( O \) se afla pe \( (BA \), fiindca triunghiul \( BCD \) obtuzunghic. Avem \( \angle{CAB}=\angle{COB} \), deci \( A=O \) si \( AB=AD=AC \), \( \angle{ACD}=72^\circ, \angle{APD}=108^\circ. \)